Algebra: Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten
Binomiaalcoëfficiënten en faculteiten
We bekijken de driehoek van Pascal in zijn oorspronkelijke schematische vorm:\[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7& 8 & 9 & 10 & \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & 45 & & \\ 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 & 84 & 120 & & & \\ 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 & 210 & & & & \\ 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & 252 & & & & & \\ 1 & 7 & 28 & 84 & 210 & & & & & & \\ 1 & 8 & 36 & 120 & & & & & & & \\ 1 & 9 & 45 & & & & & & & & \\ 1 & 10 & & & & & & & & & \\ 1 & & & & & & & & & & \end {array}\]
We zullen niet alleen naar rijen en kolommen kijken, maar ook naar antidiagonalen; dat zijn de rijen getallen die je op een lijn van noordoost naar zuidwest tegenkomt. De eerste antidiagonaal is #1#. De tweede is #1,2,1#, en de zesde #1,6,15,20,15,6,1#.
binomiaalcoëfficiënt
Laat #n# en #k# niet-negatieve gehele getallen zijn met #k\le n#. Het #(k+1)#ste getal op de #(n+1)#ste antidiagonaal schrijven we als \(\binom{n}{k}\).
Dit wordt uitgesproken als de binomiaalcoëfficiënt van #n# boven #k#, of kortweg als ''\(n\) boven \(k\).''
In termen van de driehoek van Pascal is de binomiaalcoëfficiënt \(\binom{n}{k}\) het #(k+1)#ste getal op de #(n+1)#ste rij.
Het eerste getal linksboven is het eerste (en enige) getal van de eerste antidiagonaal. Het is gelijk aan #1#, dus \(\binom{0}{0}=1\).
De manier waarop het getal tot stand komt, wordt vastgelegd door de volgende formule.
Karakteriserende eigenschap voor binomiaalcoëfficiënten Voor alle niet-negatieve gehele getallen #n# en #k# met #k\le n# geldt:
\[\binom{n}{k}=\begin{cases}\displaystyle\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&\text{ als } n\gt0 \text{ en } k\gt 0\\ \phantom{\displaystyle\binom{n}{k-1}}\ 1&\text{ anders}\end{cases}\]
Het tweede deel van de formule geeft dat \(\binom{n}{0}=\!\binom{n}{n}=1\) voor alle \(n\). Met deze formule kun je in een eindig aantal stappen elke binomiaalcoëfficiënt uitrekenen.
\[\begin{array}{rcl}\binom{4}{2} &=& \binom{3}{1} + \binom{3}{2} \\ \\ &=& \binom{2}{0} + \binom{2}{1} + \binom{2}{1} + \binom{2}{2} \\ \\&=& 1 + 2\cdot \binom{2}{1} + 1 \\ \\ &=& 1+2\cdot\left(\binom{1}{0}+\binom{1}{1}\right)+1\\ \\ &=& 1+2\cdot\left(1+1\right)+1\\ \\ &=& 6\end{array}\]
Dit is een omslachtige manier van rekenen en kan eenvoudiger. Maar hiervoor moeten we eerst nog de notatie \(n!\) (spreek uit als ''\(n\)-faculteit'') invoeren.
faculteit
\[\begin{array}{rcl} 0! &=& 0 \\ n! &= &1\times\cdots\times n\qquad\text{voor elk positief geheel getal }n\end{array}\]
Voorbeelden \[\begin{array}{rcl} 1! &=&1\\ 2! &=& 1\times 2 = 2\\ 3! &=& 1\times 2\times 3 = 6\\ 4! &=& 1\times 2\times 3\times 4 = 24\end{array}\]
Met deze notatieafspraak geldt:
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Het eerder gegeven rekenvoorbeeld wordt dan: \[\binom{4}{2} =\frac{4!}{2!\,2!} = \frac{24}{2\times 2}=6\] In de praktijk hoef je nooit de drie faculteiten afzonderlijk uit te rekenen. Gebruik gewoon de definitie van \(n!\) Dat leidt in dit geval tot \[\binom{4}{2} =\frac{4!}{2!\,2!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4}{(1 \times 2)\times(1\times 2)}=\frac{3\times 4}{1\times 2} = \frac{12}{2}=6\] In het algemeen geldt:
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n-k+1)\times\cdots\times (n-1)\times n}{1\times 2\times\cdots\times k}\]
Uitwerking: \(\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56\).
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
