Soms ontstaat de noodzaak om de Fourier-reeks van een #2L#-periodieke functie voor een getal #L# verschillend van #\pi#. Dit is haalbaar met kleine aanpassingen aan wat we al gezien hebben in het geval van een #2\pi#-periodieke functie.
Laat #L# een positief getal zijn en #f# een #2L#-periodieke functie.
De Fourier-reeks van #f# is
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos \left(\frac{\pi n x}{L}\right) + b_n \sin \left(\frac{\pi n x}{L}\right) \right)\end{array}\]
waarbij
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle a_n&=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left( \frac{\pi n x}{L}\right) \dd x \quad (n=0,1,\ldots)\\ \displaystyle b_n&=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \left(\frac{\pi n x}{L} \right)\dd x\quad (n=1,2,\ldots)\end{array}\]
Door toepassing van de substitutie #x=\frac{ L t}{\pi}# schalen we #f# tot de #2\pi#-periodieke functie #\varphi(t)#. Dus
\[\varphi(t) = f\left(\frac{L t}{\pi}\right)\]
De Fourier-reeks voor #\varphi#, zeg
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt) \right)\end{array}\]
wordt bepaald door de Euler-formules. Voor # n=0,1,\ldots# geldt daarom
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(t) \cos( nt) \, \dd t \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\&=& \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\left(\frac{L\cdot t}{\pi}\right) \cos( nt) \, \dd t\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie }\varphi}\\ &=& \displaystyle \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left( \frac{\pi n x}{L}\right) \,\dd x\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{substitutie } t=\frac{\pi x}{L}}\\ \end{array}\]
Net zo kunnen we, voor #n=1,2,\ldots# het volgende afleiden.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle b_n&=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left( \frac{\pi n x}{L}\right) \,\dd x \end{array}\]
Door de omgekeerde substitutie #t=\frac{\pi x}{L}# in de Fourier-reeks voor #\varphi# uit te voeren, vinden we voor #f(x) = \varphi\left(\frac{\pi x}{L}\right)# de Fourier-reeks
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos \left(\frac{\pi n x}{L}\right) + b_n \sin \left(\frac{\pi n x}{L}\right)\right) \end{array}\]
Het bewijs vertelt ons dat, als #f(x)# een #2L#-periodieke functie is, dan #\varphi(x) = f\left(\frac{L\cdot x}{\pi}\right)# een #2\pi#-periodieke functie is en dat, als #\varphi# Fourier-reeks
\[\varphi(t) = \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt) \right)\end{array}\]
heeft, de Fourier-reeks van #f(x) = \varphi\left(\frac{\pi\cdot x}{L}\right)# dan verkregen kan worden door #\frac{\pi\cdot x}{L}# voor #t# te substitueren in de Fourier-reeks van #\varphi#. \[ f\left(x\right) = \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left (\frac{n\cdot \pi\cdot x}{L}\right) + b_n \sin\left (\frac{n\cdot\pi\cdot x}{L}\right)\right) \end{array}\]
De convergentiestelling, waarnaar we al verwezen hebben bij de bespreking van het #2\pi#-periodieke geval, geldt voor alle eindige perioden.
Bereken de Fourier-reeks van \[f(x)=\left\{\begin{array}{l l}4\cdot x, & 0\leq x< 3\\ 0, & -3 \lt x<0 \end{array}\right. , \hspace{1.1cm}f(x+6)=f(x)\] Voer vereenvoudigde uitdrukkingen voor de coëfficiënten \(a_0\), \(a_m\) en \(b_m\), \(m=1,2,\dots\), waarbij de Fourier-reeks wordt gegeven door \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\left(a_m\cdot\cos\left(\frac{m\cdot\pi\cdot x}{L}\right)+b_m\sin\left(\frac{m\cdot\pi\cdot x}{L}\right)\right)\] en \(L\) is de halve periode van \(f\). Gebruik de sommatie symbool beschikbaar onder de tab 'functie' van de ingang pallet bij de opgave van de Fourier-reeks.
Fourier-coëfficiënten voor willekeurige periodes
