Operaties voor vectoren

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Coördinaten in 2 dimensies

Operaties voor vectoren

We bespreken twee operaties op vectoren in het platte vlak.

De optelling van de vectoren \(\rv{a,b}\) en \(\rv{c,d}\) is de vector \(\rv{a+c,b+d}\). We noteren deze optelling met de bekende #+# en schrijven dus

\[\rv{a,b}+\rv{c,d}=\rv{a+c,b+d}\tiny.\]

De scalaire vermenigvuldiging van de vector \(\rv{a,b}\) met het getal #c# is de vector \(\rv{a\cdot c,b\cdot c}\).

We noteren deze vermenigvuldiging met de bekende punt #\cdot# en schrijven dus

\[c\cdot \rv{a,b}=\rv{a\cdot c,b\cdot c}\tiny.\]

De scalaire vermenigvuldiging heeft een andere naam dan "vermenigvuldiging" gekregen omdat het geen vermenigvuldiging van twee vectoren is: er komt maar één vector aan te pas.

Nu de meetkundige interpretatie:

De vector \(\rv{a,b}+\rv{c,d}\) is het vierde punt van de ruit met hoekpunten \(\rv{0,0}\), \(\rv{a,b}\) en \(\rv{c,d}\). In het bijzonder wordt \(\rv{a,b}+\rv{c,d}\) verkregen door het beginpunt van de vector \(\rv{c,d}\) in het eindpunt van \(\rv{a,b}\) te plaatsen en de vector te nemen die het beginpunt van \(\rv{a,b}\) en het eindpunt van de zojuist geplaatste vector heeft.
De vector \(c\cdot \rv{a,b}\) wordt uit de vector \(\rv{a,b}\) verkregen door deze met een factor #c# op te blazen.

In de figuur hieronder zijn de vectoren #\vec{u}=\rv{5,0}# en #\vec{v} = \rv{6,26}# getekend.

Wat is de som van #\vec{u}# en #\vec{v}#? En wat is de scalaire vermenigvuldiging van #\vec{u}# met #2#?

#\vec{u}+\vec{v} = \rv{11,26}# en #2 \cdot \vec{u} = \rv{10,0}#

Deze vectoren staan hieronder afgebeeld als respectievelijk #t# en #s#. De gestippelde vector stelt de representant van de vector #\vec{v}# voor waarvan het beginpunt samenvalt met het eindpunt van #\vec{u}#.

Nieuw voorbeeld