Eigenschappen van orthonormale stelsels

Inproductruimten: Orthonormale stelsels

Eigenschappen van orthonormale stelsels

We bespreken enkele eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren.

Eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren
Laat #V# een inproductruimte zijn en #\vec{x}# een vector van #V#.

Orthonormale stelsels in #V# zijn lineair onafhankelijk.
Als #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}# een orthonormale basis is van #V#, dan zijn de coördinaten van #\vec{x}# ten opzichte van deze basis achtereenvolgens #\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}, \ldots , \dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}#:\[\vec{x}=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n\]
De lengte van #\vec{x}# is gelijk aan de lengte van de coördinaatvector van #\vec{x}# ten opzichte van het standaardinproduct:
\[\norm{\vec{x}}^2 =\left(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}\right)^2 + \cdots + \left(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}\right)^2\]

1. Stel dat #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# een orthonormaal stelsel is in #V#. Om de onafhankelijkheid ervan aan te tonen, starten we met de vergelijking \[\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n =\vec{0}\] met onbekenden #\lambda_1,\ldots , \lambda_n#. Door het inproduct van beide zijden van de gelijkheid met de vector #\vec{a}_j# met #1\leq j\leq n# te nemen vinden we
\[
\dotprod{(\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n)}{ \vec{a}_j} =\dotprod{\vec{0}}{\vec{a}_j}=0
\] Het linker lid kunnen we als volgt vereenvoudigen:
\[\begin{array}{rcl}\dotprod{(\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n)}{ \vec{a}_j}&=&\lambda_1(\dotprod{\vec{a}_1}{\vec{a}_j})+\cdots + \lambda_n(\dotprod{\vec{a}_n}{\vec{a}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\ &=&\lambda_j (\dotprod{\vec{a}_j}{\vec{a}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthogonaliteit van het stelsel}}\\&=&\lambda_j\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthonormaliteit van het stelsel}}\end{array}\]

De enige oplossing van #\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n=\vec{0}# is dus #\lambda_j=0# voor alle #j#, wat de onafhankelijkheid van #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# aantoont.

2. Omdat #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# een basis is van #V#, zijn er scalairen #\mu_1 , \ldots ,\mu_n# zodat #\vec{x}=\mu_1 \vec{a}_1 +\cdots + \mu_n \vec{a}_n#. Om #\mu_j# te bepalen, nemen we weer van linker en rechter zijde van deze gelijkheid het inproduct met #\vec{a}_j#:
\[
\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_j}=\dotprod{(\mu_1 \vec{a}_1 +\cdots + \mu_n \vec{a}_n)}{\vec{a}_j}
\] Na uitwerking van het rechter lid op vergelijkbare wijze als hierboven volgt #\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_j}=\mu_j#.

3. We weten nu dat we #\vec{x}# kunnen schrijven als #\vec{x}=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n#. Omdat al deze termen loodrecht op elkaar staan, kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen en krijgen we \[\begin{array}{rcl}\norm{\vec{x}}^2&=&\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovenstaande uitdrukking voor }\vec{x}}\\&=&\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1}^2 + \cdots +\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Pythagoras}}\\&=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})^2\norm{\vec{a}_1}^2 + \cdots + (\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})^2\norm{\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\&=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})^2+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\norm{\vec{a}_i}= 1 \text{ vanwege orthonormaliteit van het stelsel}}\end{array}\]

Basis

Uit de onderlinge onafhankelijkheid van de vectoren binnen een orthonormaal stelsel volgt dat wanneer we een orthonormaal stelsel van #n# vectoren hebben in een #n#-dimensionale inproductruimte, dit stelsel een basis vormt voor deze ruimte.

We zullen later laten zien dat er voor iedere eindigdimensionale inproductruimte een orthonormale basis gevonden kan worden.

3D voorbeeldHet stelsel\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,-1,0}, \, \frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,1,0},\,\rv{0,0,1}
\]vormt een orthonormaal stelsel en is dus onafhankelijk. De drie vectoren vormen een basis van #\mathbb{R}^3#, want de dimensie van de ruimte is #3#. De coördinaten van #\vec{a}=\rv{2,2,2}# ten opzichte van deze basis zijn
\[
\dotprod{\vec{a}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,-1,0}}=0, \phantom{xx}
\dotprod{\vec{a}}{ \frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,1,0}}=2\sqrt{2},\phantom{xx} \dotprod{\vec{a}}{\rv{0,0,1}}=2
\]Er geldt dus
\[
\rv{2,2,2}=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,\rv{1,1,0} + 2\,\cdot \rv{0,0,1}
\]

De volgende stelling is interessant voor het berekenen van inproducten als we een orthonormale basis tot onze beschikking hebben.

Van inproduct naar standaardinproductLaat #\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n}# een orthonormale basis voor een inproductruimte #V# zijn en laat\[\vec{x}=\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i,\qquad\vec{y}=\sum_{j=1}^n y_j\vec{e}_j \]vectoren van #V# zijn, geschreven als lineaire combinaties van de basisvectoren. Dan is het inproduct van #\vec{x}# en #\vec{y}# als volgt uit te drukken:\[\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}=\sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i\]

Wegens de definitie van een basis kunnen we de vectoren #\vec{x}# en #\vec{y}# schrijven als
\[\vec{x}=\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i,\qquad \vec{y}=\sum_{i=1}^n y_i\vec{e}_i\]We schrijven nu het inproduct uit:\[\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}&=&\displaystyle\dotprod{\left(\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i\right)}{\left(\sum_{i=1}^n y_i\vec{e}_i\right)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{geschreven in termen van de basis}}\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i y_j \cdot(\dotprod{\vec{e}_i}{ \vec{e}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\&=&\displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i\cdot(\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_i})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=0\text{ als }i\neq j}\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=1\text{ als }i=j}\end{array}\]

Matrixvorm Evenals het standaardinproduct kan het inproduct geschreven worden als een product van een #(1\times n)#-matrix en een #(n\times 1)#-matrix. We schrijven #\vec{c}_x# voor de coördinaatvector van #\vec{x}# ten opzichte van de basis #\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n#, gezien als kolomvector. Net zo schrijven we #\vec{c}_y# voor de coördinaatvector van #\vec{y}# geschreven als kolomvector. Deze vectoren zijn dus #(n\times1)#-matrices. Nu kunnen we het inproduct #\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}# schrijven als \[\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}=\vec{c}_x^{\top}\,\vec{c}_y\]Bijvoorbeeld\[\dotprod{\rv{2,3,1}}{\rv{-3,5,2}} = 2\cdot(-3)+3\cdot 5 +1\cdot 2= \matrix{2&3&1}\,\matrix{-3\\ 5\\2}\]

BasisDe stelling leert ons dat als we in #V# gaan rekenen met coördinaten ten opzichte van een orthonormale basis, we het inproduct van twee vectoren in #V# uit kunnen drukken in termen van het standaardinproduct op #\mathbb{R}^n#.

We bekijken de vectorruimte #\mathbb{R}^3# met het standaardinproduct. Stel dat de volgende orthonormale basis gegeven is.
\[\begin{array}{rll}
\displaystyle \vec{v}_1&=&\displaystyle \rv{ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{2}\over{\sqrt{5}}} } \\
\vec{v}_2&=&\displaystyle \rv{ -{{2}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{5}}} } \\
\vec{v}_3&=&\displaystyle \rv{ 0 , 1 , 0 }
\end{array}\]
Bepaal de coördinaatvector #\vec{c}=\rv{c_1,c_2,c_3}# ten opzichte van de hierboven gegeven basis van de vector
\[
\vec{x}=\rv{ 2 , 2 , 4 }
\]

#\vec{c}=# #\rv{2\sqrt{5},0,2}#

De gegeven basis is orthonormaal. Volgens de Eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren zijn de cöordinaten van een vector #\vec{x}# ten opzichte van een orthonormale basis de inproducten van #\vec{x}# met de basiselementen. We rekenen deze inproducten nu stuk voor stuk uit.
\[\begin{array}{rcl}
c_1&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_1}{\vec{x}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\
&=&\displaystyle\dotprod{\rv{ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{2}\over{\sqrt{5}}} } }{\rv{ 2 , 2 , 4 } }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\
&=&\displaystyle\left({{1}\over{\sqrt{5}}}\cdot2\right)+\left(0\cdot 2\right)+\left({{2}\over{\sqrt{5}}}\cdot4\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\
&=&\displaystyle2\sqrt{5}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcl}
c_2&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_2}{\vec{x}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\
&=&\displaystyle\dotprod{\rv{ -{{2}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{5}}} } }{\rv{ 2 , 2 , 4 } }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\
&=&\displaystyle\left(-{{2}\over{\sqrt{5}}}\cdot2\right)+\left(0\cdot 2\right)+\left({{1}\over{\sqrt{5}}}\cdot4\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\
&=&\displaystyle0\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcl}
c_3&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_3}{\vec{x}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\
&=&\displaystyle \dotprod{\rv{ 0 , 1 , 0 } }{\rv{ 2 , 2 , 4 } }\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\
&=&\displaystyle\left(0\cdot2\right)+\left(1\cdot 2\right)+\left(0\cdot4\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\
&=&\displaystyle2\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]

Dus de coördinaatvector #\vec{c}# wordt gegeven door #\rv{2\sqrt{5},0,2}#.

Nieuw voorbeeld