#\int \cos(x)\cdot \sin(x)^8 \,\dd x=# #{{\sin(x)^9}\over{9}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(x)=x^8# y #h(x)=\sin(x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(x)\cdot \sin(x)^8#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(x)\cdot \sin(x)^8 \,\dd x&=& \displaystyle \int \sin(x)^8 \cdot \cos(x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=\cos(x)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin(x)^8 \right) \, \dd(\sin(x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int u^8 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin(x)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^9}\over{9}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(x)^9}\over{9}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin(x)}
\end{array}\]