Funciones: Polinomios de grado superior
Resolución de polinomios de grado superior con ecuación cuadrática
Algunas ecuaciones con polinomios se pueden resolver con la fórmula cuadrática. Para eso, usamos la sustitución.
| Procedimiento Resolvemos una ecuación con polinomios en #x# con la fórmula cuadrática. | Ejemplo #2x^4+3x^2-2=0# | |
| Paso 1 | Escribe la ecuación en la forma #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#. | #2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0# |
| Paso 2 | Sustituye #\blue{x^n}=\green u#. | #2\green u^2+3\green u-2=0# |
| Paso 3 | Resuelve la ecuación cuadrática obtenida en #\green u# con la fórmula cuadrática. | #\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}# |
| Paso 4 | Sustituye #\green u =\blue{x^n}# en la(s) solución(es) encontrada(s). | #\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}# |
| Paso 5 | Determina las soluciones en #x# a partir de las ecuaciones obtenidas en el paso 4. | #x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}# |
#x=\sqrt[7]{-{{9}\over{4}}} \lor x=\sqrt[7]{{{7}\over{9}}} #
| Paso 1 | Escribimos la ecuación en la forma: \[4 x^{2 \cdot 7}+{{53}\over{9}} x^{7}-7=0\] |
| Paso 2 | Sustituimos #x^7=u#. Esto da: \[4 u^2+{{53}\over{9}} u-7=0\] |
| Paso 3 | Resolvemos la ecuación obtenida en #u# mediante la fórmula cuadrática. El discriminante es igual a: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para el discriminante}}\\ &=& \left({{53}\over{9}}\right)^2-4 \cdot 4 \cdot -7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada}}\\ &=& {{11881}\over{81}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}}\end{array}\] Dado que el discriminante es positivo, hay dos soluciones. Estas son: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para las soluciones}}\\ u=\frac{-{{{53}\over{9}}}-\sqrt{{{11881}\over{81}}}}{2 \cdot 4} &\lor& u=\frac{-{{{53}\over{9}}}+\sqrt{{{11881}\over{81}}}}{2 \cdot 4}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada}}\\ u=-{{9}\over{4}} &\lor& u={{7}\over{9}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}}\end{array}\] |
| Paso 4 | Ahora sustituimos #u=x^{7}# en las soluciones encontradas, esto nos da \[x^{7}=-{{9}\over{4}} \lor x^{7}={{7}\over{9}}\] |
| Paso 5 | Por último, resolvemos estas ecuaciones tomando la raíz. Esto nos da las soluciones a la ecuación original: \[x=\sqrt[7]{-{{9}\over{4}}} \lor x=\sqrt[7]{{{7}\over{9}}}\] |
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