Lineaire ongelijkheden: Variaties
Gebroken lineaire ongelijkheden
Net als in het hoofdstuk Lineaire vergelijkingen met één onbekende kunnen ongelijkheden waarin quotiënten van lineaire uitdrukkingen in #x# voorkomen, opgelost worden door herleiding tot lineaire ongelijkheden. We geven hieronder enkele voorbeelden.
Een breuk van de vorm #\dfrac{ax+b}{cx+d}#, waarbij #a#, #b#, #c# en #d# vast gekozen getallen zijn met ten minste één van #c# en #d# ongelijk nul, heet een gebroken lineaire uitdrukking in #x#.
Het geval waarin #c# en #d# beide nul zijn, wordt uitgesloten omdat de noemer van de breuk dan gelijk aan nul is.
Het geval waarin #c=0# komt overeen met een lineaire uitdrukking in #x#, te weten #\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}#.
We herinneren eraan dat een stel ongelijkheden (met operatoren als "#\vee#" en "#\wedge#", die staan voor "of" en "en") equivalent is met een ander stel als de twee samengestelde ongelijkheden dezelfde oplossingsverzameling hebben.
Laat #\dfrac{ax+b}{cx+d}# een gebroken lineaire uitdrukking in #x# zijn. De ongelijkheid #\dfrac{ax+b}{cx+d}\ge0# is equivalent met \[\left(ax+b\ge0\land cx+d\gt0\right)\lor\left(ax+b\le0\land cx+d\lt0\right)\tiny.\]
De gebroken lineaire functie kent een noemer gelijk aan #0# als #cx+d=0#. Daarom moet #cx+d\gt0\lor cx+d\lt0# gelden.
Stel nu #cx+d\gt0#. Volgens de stelling van Ordening van de rationale getallen geldt #\dfrac{ax+b}{cx+d}\ge0# dan en slechts dan als #{ax+b}\ge0#. In dit geval is dus #ax+b\ge0\land cx+d\gt0# waar.
Stel vervolgens #cx+d\lt0#. Volgens de achterkant van bovengenoemde stelling geldt #\dfrac{ax+b}{cx+d}\ge0# dan en slechts dan als #{ax+b}\le0#. In dit geval is dus #ax+b\le0\land cx+d\lt0# waar.
De conclusie is dat de uitspraak #\left(ax+b\ge0\land cx+d\gt0\right)\lor\left(ax+b\le0\land cx+d\lt0\right)# altijd waar is.
Omdat we niet door nul kunnen delen, #5x+2 \ne 0#, en is #\displaystyle x= -{{2}\over{5}}# geen oplossing van de ongelijkheid. Om de ongelijkheid op te lossen onderscheiden we aan de hand van het teken van #5x+2#, dus tussen #\displaystyle x\gt -{{2}\over{5}}# en #\displaystyle x\lt -{{2}\over{5}}#. Vermenigvuldigen we de gegeven ongelijkheid #\frac{8x+2}{5x+2}\lt 9# aan beide zijden met #5x+2# dan vinden we # (x\gt -{{2}\over{5}}\land 8x+2 \lt 9\cdot \left(5\cdot x+2\right)) \lor (x\lt -{{2}\over{5}}\land 8x+2 \gt 9\cdot \left(5\cdot x+2\right)) #. Toepassen van de gebruikelijke rekenregels voor ongelijkheden geeft dat dit gelijkwaardig is aan #(x\gt -{{2}\over{5}}\land x \gt -{{16}\over{37}}) \lor (x\lt -{{2}\over{5}}\land x \lt -{{16}\over{37}}) #. Omdat #-{{2}\over{5}} \ge -{{16}\over{37}}#, vinden we # x\lt -{{16}\over{37}} \lor x\gt -{{2}\over{5}}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
