Oplossen door herleiding

Lineaire ongelijkheden: Lineaire ongelijkheden met één onbekende

Oplossen door herleiding

Lineaire ongelijkheden met één onbekende zijn op te lossen door herleiding.

Elke ongelijkheid van de vorm $ax+b\ge0$ met $a\ne0$ kan herschreven worden tot $\begin{cases}x\ge -\dfrac{b}{a}& \text{ als }a\gt 0\\ x\le -\dfrac{b}{a}& \text{ als }a\lt0\end{cases}$

Hierbij zijn regels 4 en 5 van Ordening van de reële getallen gebruikt. We behandelen het geval $a\lt0$ :

$\begin{array}{rclcl}ax+b\ge0&\Leftrightarrow&ax\ge -b &\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden }b\text{ afgetrokken }}\\&\Leftrightarrow&x\le -\dfrac{b}{a} &\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden door }a\text{ gedeeld }}\\ \end{array}$

Meerdere ongelijkheden kunnen we samenstellen met operatoren als ' $\lor$ ' en ' $\land$ ', die staan voor 'of' en 'en'.

Zo kunnen we bovenstaande oplossing voor $ax+b\ge0$ herformuleren als

$\left(x\ge -\dfrac{b}{a}\land a\gt 0\right) \lor \left( x\le -\dfrac{b}{a}\land a\lt0\right)\tiny.$

Een stel ongelijkheden heet equivalent met een ander stel als ze precies dezelfde oplossingen hebben. Bijvoorbeeld: $x\gt 5\wedge x\gt 2$ is equivalent met $x\gt 5$ .

Met $\Leftrightarrow$ tussen twee uitdrukkingen geven we aan dat ze equivalent zijn. Bijvoorbeeld:

$x\gt 5\wedge x\gt 2\Leftrightarrow x\gt 5$ .

Herschrijf het volgende stelsel ongelijkheden tot een enkele ongelijkheid.

$\left(x\gt -4\land x\gt -10\right)\lor \left(x\gt 3\right)$

$x\gt -4$

Immers,
$\begin{array}{rclcl} \left(x\gt -4\land x\gt -10\right)\lor \left(x\gt 3\right) &\Leftrightarrow&x\gt -4\lor x>3&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ }-4=\max(-4,-10)}\\ &\Leftrightarrow&x\gt -4 &\phantom{x}& \color{blue}{\text{ }-4=\min(-4,3)} \\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld

Lineaire ongelijkheden: Lineaire ongelijkheden met één onbekende

Oplossen door herleiding

Waarmee kan de AI Bot je helpen?