Lineaire combinaties in 3 dimensies

3-Dimensionale meetkunde: Coördinaten in 3 dimensies

Lineaire combinaties in 3 dimensies

De scalaire vermenigvuldiging en optelling in 3 dimensies werken net zo als in 2 dimensies. Door deze twee operaties te combineren, krijgen we lineaire combinaties:

Als #v# en #w# punten van het platte vlak zijn en #a# en #b# reële getallen zijn, dan heet
\[
a\cdot v+b\cdot w
\]
een lineaire combinatie van de vectoren #v#, #w#. Met de term lineaire combinatie geven we een naam aan punten die we kunnen bouwen uit andere punten met behulp van de operaties optelling en scalaire vermenigvuldiging.

Rekenen met coördinaten valt reuze mee. Na verloop van tijd zul je merken dat je bij berekeningen vaak enkele stappen overslaat. Pas wel op dat we punten niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (maar zie het uitproduct later).

[a)] #3\underline{v}-\underline{w}+2\underline{v}+3\underline{w} = 5\underline{v} + 2\underline{w}#. Met tussenstappen verloopt deze berekening bijvoorbeeld als volgt. Vanwege commutativiteit
mogen we de vier termen herschikken: \[
3\underline{v}-\underline{w}+2\underline{v}+3\underline{w} = 3\underline{v}+2\underline{v} -\underline{w}+3\underline{w}.\]
Vervolgens gebruiken we distributiviteit en het feit dat
#-\underline{w} = (-1)\underline{w}#:
\[
3\underline{v}+2\underline{v} -\underline{w}+3\underline{w} = (3+2)\underline{v} + (-1+3)\underline{w} =
5\underline{v} + 2\underline{w}.
\]
In dit voorbeeld hebben we het plaatsen van haken achterwege gelaten;
dat is vanwege associativiteit in orde. Met plaatsen van haakjes
zou de berekening bijvoorbeeld als volgt kunnen starten:
\[
(3\underline{v}+(-\underline{w}+2\underline{v}))+3\underline{w} = (3\underline{v}+(2\underline{v} -\underline{w}))+3\underline{w}=((3\underline{v}+2\underline{v}) -\underline{w})+3\underline{w} = \ldots
\]
[b)] De tegengestelde van #\lambda\,\underline{v}# is #-\lambda \underline{v}#. Hier is #\lambda# een willekeurige scalar.
[c)] In de berekening
#\underline{v} + \frac{1}{2} (\underline{w}-\underline{v}) = \frac{1}{2} ( \underline{v}+\underline{w})#
zitten twee manieren verborgen om naar het midden van een lijnstuk te kijken.
Zie je welke?
[d)] Door de diverse rekenregels te gebruiken vind je:
\[
(-\underline{u}+ 2\underline{v}+3\underline{w}) + (2\underline{u}-\underline{v} + \underline{w}) =
\underline{u} + \underline{v} + 4\underline{w}.
\]

***bespreek v-w apart