2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Parabolen
Gelijkvormigheid van parabolen
Meetkundig object
Onder een meetkundig object verstaan we een stel punten in het vlak. Meestal bedoelen we een lijn, een lijnstuk, twee snijdende lijnen, een hoek, driehoek, een cirkel, een ellips, een parabool, of een hyperbool.
Evenals bij Gelijkvormigheid van driehoeken en bij Gelijkvormigheid van cirkels hanteren we de volgende begrippen voor willekeurige objecten.
- gelijkvormig als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen, spiegelingen, draaiingen en schalingen,
- congruent als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen, spiegelingen en draaiingen.
- direct congruent als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen en draaiingen.
Als twee objecten wel congruent maar niet direct congruent zijn, noemen we ze indirect congruent.
We kunnen parabolen als volgt omschrijven.
Gelijkvormigheid van parabolen
Elke verzameling van punten in het vlak die de oplossingen zijn van een vergelijking van de vorm \[(cx+dy)^2+px+qy+r=0\tiny,\]waarbij #c#, #d#, #p#, #q# en #r# getallen zijn met ten minste één van #c# en #d# ongelijk aan #0#, is gelijkvormig met de parabool met vergelijking #y=x^2#.
Verder geldt:
- Elke parabool is direct congruent met een parabool met vergelijking #y=b x^2# voor precies één positieve waarde van #b#.
- Voor verschillende positieve waarden van #b# zijn de bijbehorende parabolen niet congruent.
Voor #q=0# is de verzameling oplossingen de lijn #y=0#, de #x#-as dus.
Om dit in te zien, nemen we aan dat #Q# de verzameling oplossingen is van de vergelijking #(cx+dy)^2+px+qy+r=0# en voeren we een aantal transformaties uit van het vlak, waarbij we laten zien hoe de vergelijking mee verandert. Het doel is op de vergelijking #y=x^2# uit te komen.
Allereerst delen we alle termen van de vergelijking doorWe hebben alle termen door #n^2#, waarbij #n=\sqrt{c^2+d^2}#. Merk op dat #n\ne0# omdat één van #c#, #d# zeker ongelijk nul is. Na enig herschrijven vinden we de vergelijking
\[\left(c'x+d'y\right)^2+p'x+q'y+r'=0\tiny,\]met #c'=\frac{c}{n}#, #d'=\frac{d}{n}#, #p'=\frac{p}{n^2}#, #q'=\frac{q}{n^2}# en #r'=\frac{d}{n^2}#.
Nu kunnen we een geschikte draaiing om de oorsprong kunnen uitvoeren om het kwadratische deel van de vergelijking over te voeren in #x^2#. ****argumenteer met inverse of getransponeerde?**** De transformatie die #\rv{x,y}# in #\rv{c'x-d'y,d'x+c'y}# overvoert, doet het werk. Het is inderdaad een draaiing. Elke variabele #x# in de vergelijking wordt vervangen door #c'x-d'y# en elke variabele #y# in de vergelijking wordt vervangen door #-d'x+c'y#. Zo gaat de vergelijking over in
\[\left(c'(c'x+d'y)+d'(d'x-c'y)\right)^2+p'(c'x+d'y)+q'(d'x-c'y)+r'=0\tiny,\]wat herschreven kan worden tot \[x^2+ax+by+r'=0\tiny,\]waarbij #a=p'c'+q'd'# en #b = p'd'-c'q'#.
Nu transleren we: het punt #\rv{x,y}# wordt naar #\rv{x+\frac{a}{2},y+\frac{r'}{b}-\frac{a^2}{4b}}# gezonden. Hierbij gaat de vergelijking over in #\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+a\left(x-\frac{a}{2}\right)+b\left(y-\frac{r'}{b}+\frac{a^2}{4b}\right)+r'=0#, ofwel\[x^2=by\tiny.\]Omdat we alleen een draaiing en een verschuiving hebben gebruikt, is hiermee bewezen dat de oplossingen van de gegeven vergelijking direct congruent zijn met de oplossingen van #y=bx^2#.
Als #b\lt0#, dan kunnen we nog over #{180}^\circ# draaien (de bijbehorende transformatie zet #\rv{x,y}# om in #-\rv{x,y}#), zodat de vergelijking overgaat in #x^2=-by#. Nu is de coëfficiënt van #y# positief. Daarmee is de uitspraak over directe congruentie bewezen.
Bij gegeven #b# is de afstand van het brandpunt tot de richtingslijn gelijk aan ***. Hieruit is af te leiden dat bij verschillende positieve waarden van #b# de bijbehorende parabolen #x^2=by# niet congruent zijn.
Als we tenslotte de schaling toelaten die #\rv{x,y}# in #\rv{\frac{x}{b},\frac{y}{b}}# overvoert, vinden we de vergelijking #(xb)^2=b(by)#, ofwel #x^2=y#. Hiermee is bewezen dat de oplossingsverzameling van de oorspronkelijke vergelijking altijd gelijkvormig is aan de parabool gegeven door #x^2=y#.
Om dit in te zien, splitsen we kwadraten af voor zowel #x# als #y# en herschrijven we de vergelijking als\[\left(x+6\right)^2+\left(y+1\right)^2-64=0\]Hieruit blijkt dat het middelpunt van de cirkel #\rv{-6,-1}# is, maar belangrijker, dat de straal #\sqrt{64}=8# is. Daarom is de cirkel congruent met #x^2+y^2=64#.
De cirkel is hiernaar te verplaatsen door het vlak over #\rv{6,1}# te verschuiven.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
