Het punt $\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ ligt inderdaad op de eenheidscirkel. Het voldoet namelijk aan de vergelijking voor de eenheidscirkel: $$\begin{array}{rcl}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2&=&\frac{(2t)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{(2t)^2+(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{4t^2+1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&1\end{array}$$ We moeten nog inzien dat elk punt behalve $\rv{0,-1}$ geschreven kan worden als $\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}$ voor een unieke waarde van $t$. Daartoe kiezen we een willekeurig punt $\rv{a,b}$ op de eenheidscirkel en zoeken we de waarden voor $t$ waarvoor geldt $$\rv{a,b}=\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}\tiny.$$ Gelijkstellen van de coördinaten, vermenigvuldigen met $1+t^2$ (toegestaan omdat die uitdrukking altijd positief is) en herschikking van de termen geeft het volgende stelsel vergelijkingen in $t$: $$\eqs{a\,t^2-2t+a&=&0\cr (1+b)t^2-(1-b)&=&0\cr}$$ De tweede vergelijking geeft $t^2=\frac{1-b}{1+b}$. Vervangen we $t^2$ in de eerste vergelijking door die waarde, dan ontstaat de volgende lineaire vergelijking $a\,\frac{1-b}{1+b}-2t+a=0$, die als oplossing heeft: $t=\frac{a}{b+1}$. Er is dus hooguit één waarde voor $t$ die voldoet. Als $b\ne-1$, dan is er precies één waarde die voldoet, en het is eenvoudig na te gaan dat de gevonden waarde voor $t$ het punt $\rv{a,b}$ oplevert. Hiermee is vastgesteld dat elk punt behalve $\rv{0,-1}$ (het enige punt met $y$-coördinaat gelijk aan $-1$) in de parametervorm geschreven kan worden.