2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Cirkels
Gelijkvormigheid van cirkels
De begrippen gelijkvormig, congruent en direct congruent zijn weliswaar ingevoerd voor driehoeken, maar ze kunnen toegepast worden op elk type meetkundig object. Hier bespreken we de begrippen voor cirkels.
- gelijkvormig als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen, spiegelingen, draaiingen en schalingen,
- congruent als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen, spiegelingen en draaiingen.
- direct congruent als de één in de ander getransformeerd kan worden door verschuivingen en draaiingen.
Vanwege de grote symmetrie van de cirkel, zal de volgende animatie geen verrassing zijn:
- Elke cirkel is gelijkvormig met de eenheidscirkel: de cirkel met vergelijking #x^2+y^2 =1#.
- Elke cirkel met straal #r# is direct congruent met de cirkel gegeven door de vergelijking #x^2+y^2=r^2#.
- Als twee cirkels congruent zijn, dan zijn ze ook direct congruent.
De vergelijking van een cirkel met straal #r# is #(x-a)^2+(y-b)^2=r^2#. Door een verschuiving over de vector #-\rv{a,b}#, het middelpunt van de cirkel, verschuift de cirkel naar de cirkel met de oorsprong als middelpunt en dezelfde straal, met andere woorden: de cirkel gegeven door de vergelijking #x^2+y^2=r^2#. Dit bewijst de tweede uitspraak.
Door de cirkel met vergelijking #x^2+y^2=r^2# te schalen met een factor #\frac{1}{r}#, ontstaat de cirkel met straal #1# en de oorsprong als middelpunt. De vergelijking van deze cirkel is #x^2+y^2 =1#. Daarmee is de eerste uitspraak bewezen.
Stel tenslotte dat een cirkel indirect congruent is met de cirkel met vergelijking #x^2+y^2=r^2#. Vanwege de tweede uitspraak mogen we aannemen dat de eerste cirkel congruent is met #x^2+y^2=s^2#. Maar spiegelingen, draaiingen en verschuivingen behouden oppervlakte van opbejcten, en dus ook de straal van cirkels. Dit betekent dat #s=r# moet gelden. Maar dan vallen de twee cirkels samen en zijn ze dus ook direct congruent. Dit bewijst de derde uitspraak.
Om dit in te zien, splitsen we kwadraten af voor zowel #x# als #y# en herschrijven we de vergelijking als\[\left(x-4\right)^2+\left(y-9\right)^2-100=0\]Hieruit blijkt dat het middelpunt van de cirkel #\rv{4,9}# is, maar belangrijker, dat de straal #\sqrt{100}=10# is. Daarom is de cirkel congruent met #x^2+y^2=100#.
De cirkel is hiernaar te verplaatsen door het vlak over #\rv{-4,-9}# te verschuiven.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
