2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Cirkels
Snijpunten van twee cirkels
Twee cirkels snijden elkaar in hoogstens twee punten.
Laat #(x-a)^2+(y-b)^2=r^2# een vergelijking voor de eerste cirkel en #(x-c)^2+(y-d)^2=s^2# een vergelijking voor de tweede cirkel zijn.
Als we de eerste van de tweede aftrekken vinden we een lineaire vergelijking. Deze vergelijking stelt dus een lijn voor. Het oorspronkelijke stelsel is equivalent met set stelsel bestaande uit de vergelijking van de eerste cirkel en de lijn. In de theorie Snijpunten van cirkel en lijn hebben we gezien dat zo'n stelsel #0#, #1# of #2# oplossingen heeft.
De lijn die bij de lineaire vergelijking hoort, gaat door alle snijpunten (voorzover ze er zijn).
Bepaal de snijpunten van de cirkel gegeven door de vergelijking #x^2+y^2={{44944}\over{625}}# met de cirkel gegeven door de vergelijking #\left(x-18\right)^2+\left(y-{{56}\over{5}}\right)^2={{101124}\over{625}}#.
Voer het antwoord geen in als er geen snijpunten zijn, de lijst #[x,y]# voor geschikte waarden van #x# en #y# als er één snijpunt is en de lijst van lijsten #\{[x,y],[u,v]\}# als #\rv{x,y}# en #\rv{u,v}# de twee snijpunten zijn.
Voer het antwoord geen in als er geen snijpunten zijn, de lijst #[x,y]# voor geschikte waarden van #x# en #y# als er één snijpunt is en de lijst van lijsten #\{[x,y],[u,v]\}# als #\rv{x,y}# en #\rv{u,v}# de twee snijpunten zijn.
#[{{36}\over{5}},{{112}\over{25}}]#
We vinden de snijpunten door het volgende stelsel vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op te lossen:\[\eqs{x^2+y^2&=&{{44944}\over{625}}\cr \left(x-18\right)^2+\left(y-{{56}\over{5}}\right)^2&=&{{101124}\over{625}}\cr}\]
Trekken we de tweede vergelijkingen van de eerste af en vereenvoudigen we het resultaat, dan verdwijnen de kwadratische termen en ontstaat de volgende lineaire vergelijking met onbekenden #x# en #y#:
\[ 36\cdot x+{{112\cdot y}\over{5}}-{{11236}\over{25}}=-{{11236}\over{125}}\tiny.\]
We vatten dit op als een vergelijking met onbekende #y#. Dit levert \[y = {{2809}\over{175}}-{{45\cdot x}\over{28}} \tiny.\] Vullen we dit in de vergelijking voor de eerste cirkel in, dan ontstaat de volgende kwadratische vergelijking met onbekende #x#:\[{{2809\cdot x^2}\over{784}}-{{25281\cdot x}\over{490}}+{{227529 }\over{1225}}=0\tiny.\] Met behulp van de abc-formule vinden we dat het aantal oplossingen #1# is: \( x ={ 36\over 5} \). De waarde van #y# die bij een gegeven waarde van #x# hoort, is te vinden uit #y = {{2809}\over{175}}-{{45\cdot x}\over{28}}#. Daarom is het antwoord \([{{36}\over{5}},{{112}\over{25}}]\).
In de figuur hieronder zijn de twee cirkels getekend.
We vinden de snijpunten door het volgende stelsel vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op te lossen:\[\eqs{x^2+y^2&=&{{44944}\over{625}}\cr \left(x-18\right)^2+\left(y-{{56}\over{5}}\right)^2&=&{{101124}\over{625}}\cr}\]
Trekken we de tweede vergelijkingen van de eerste af en vereenvoudigen we het resultaat, dan verdwijnen de kwadratische termen en ontstaat de volgende lineaire vergelijking met onbekenden #x# en #y#:
\[ 36\cdot x+{{112\cdot y}\over{5}}-{{11236}\over{25}}=-{{11236}\over{125}}\tiny.\]
We vatten dit op als een vergelijking met onbekende #y#. Dit levert \[y = {{2809}\over{175}}-{{45\cdot x}\over{28}} \tiny.\] Vullen we dit in de vergelijking voor de eerste cirkel in, dan ontstaat de volgende kwadratische vergelijking met onbekende #x#:\[{{2809\cdot x^2}\over{784}}-{{25281\cdot x}\over{490}}+{{227529 }\over{1225}}=0\tiny.\] Met behulp van de abc-formule vinden we dat het aantal oplossingen #1# is: \( x ={ 36\over 5} \). De waarde van #y# die bij een gegeven waarde van #x# hoort, is te vinden uit #y = {{2809}\over{175}}-{{45\cdot x}\over{28}}#. Daarom is het antwoord \([{{36}\over{5}},{{112}\over{25}}]\).
In de figuur hieronder zijn de twee cirkels getekend.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
