2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Cirkels
Snijpunten van cirkel en lijn
Snijpunten van een cirkel en een lijn
Een cirkel en een lijn snijden elkaar in hooguit twee punten.
Alle drie gevallen komen voor:
| aantal snijpunten | voorbeeld |
| #0# | cirkel \(x^2+y^2=1\) en de lijn \(x=2\) |
| #1# | cirkel \(x^2+y^2=1\) en de lijn \(x=1\) |
| #2# | cirkel \(x^2+y^2=1\) en de lijn \(x=0\) |
De vergelijking van een cirkel is #(x-a)^2+(y-b)^2=r^2# en van een lijn #dx+ey+c=0#, met tenminste één van #e# en #d# ongelijk aan #0#. Om de snijpunten van de lijn met de cirkel te bepalen, moeten we de oplossingen van het volgende stelsel vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# bepalen:\[\eqs{(x-a)^2+(y-b)^2&=& r^2\cr dx+ey+c&=&0\cr}\]
We laten zien dat er hooguit twee oplossingen van dit stelsel zijn te vinden. Door eventueel de rol van #x# en #y# te verwisselen, kunnen we veronderstellen dat #e\ne0#, zodat de lijn geschreven kan worden als #y=-\frac{d}{e}x-\frac{c}{e}#. Substitueren we het rechterlid van deze uitdrukking voor #y# in de vergelijking voor de cirkel, dan vinden we\[(x-a)^2+\left(\frac{d}{e}x+\frac{c}{e}+b\right)^2=r^2\tiny.\]Dit is een kwadratische vergelijking met onbekende #x#. De theorie van Kwadratische vergelijkingen geeft dat er #0#, #1# of #2# oplossingen zijn. Bij elke waarde van #x# hoort precies één waarde van #y#, namelijk #y=-\frac{d}{e}x-\frac{c}{e}#. Dit betekent dat er #0#, #1# of #2# oplossingen #\rv{x,y}# van de vergelijkingen zijn, en dus evenveel snijpunten van de lijn met de cirkel.
De snijpunten zijn te vinden door het stelsel vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op te lossen dat bestaat uit de kwadratische vergelijking van de cirkel en de vergelijking van de lijn.
raaklijn
Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die de cirkel in precies één punt snijdt. Dat punt het wel het raakpunt van de lijn aan de cirkel.
Als #P# het raakpunt van een lijn aan een cirkel is, dan zeggen we ook dat de lijn aan de cirkel raakt in #P#.
De lijn met vergelijking #x=1# is een raaklijn aan de cirkel met vergelijking \(x^2+y^2-1=0\). Het raakpunt is #\rv{1,0}#.
We zullen later zien dat een cirkel in elk punt precies één raaklijn heeft.
Voer het antwoord geen in als er geen snijpunten zijn, de coördinaten #\rv{x,y}# voor geschikte waarden van #x# en #y# als er één snijpunt is en de lijst van twee vectoren #\{\rv{x,y},\rv{u,v}\}# als #\rv{x,y}# en #\rv{u,v}# de twee snijpunten zijn.
We vinden de snijpunten door het volgende stelsel vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op te lossen:\[\eqs{x^2+y^2-{{14161}\over{16}}&=&0\cr 448\cdot x+1316\cdot y-40817&=&0\cr}\]
We gebruiken de lineaire vergelijking om #y# uit te drukken in #x#. Dit levert \[y = {{5831}\over{188}}-{{16\cdot x}\over{47}} \tiny.\] Vullen we dit in de vergelijking voor de cirkel in, dan ontstaat de kwadratische vergelijking met onbekende #x#:\[{{2465\cdot x^2}\over{2209}}-{{46648\cdot x}\over{2209}}+{{169932 }\over{2209}}=0\tiny.\] Met behulp van de abc-formule vinden we dat het aantal oplossingen #2# is: \( x ={ 714\over 145},x ={ 14} \). De bij een gegeven waarde van #x# horende waarde van #y# is te vinden uit #y = {{5831}\over{188}}-{{16\cdot x}\over{47}}#. Daarom is het antwoord \(\left\{\rv{14,{{105}\over{4}}},\rv{{{714}\over{145}},{{17017}\over{580}}}\right\}\).
In de figuur hieronder zijn de lijn en de cirkel getekend.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
