2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Cirkels
De raaklijn aan een cirkel
Raaklijnen aan een cirkel zijn goed te bepalen dankzij het volgende feit.
Het punt #P# ligt op de cirkel met middelpunt #M# en straal #r#, waarbij #r=|MP|#. In Afstand van punt tot lijn hebben we gezien dat de kortste afstand van een punt #M# tot een lijn #l# wordt aangenomen in het punt #Q# op #l# met de eigenschap dat #MQ# loodrecht staat op #l#. Om de uitspraak te bewijzen, is het dus voldoende om te laten zien dat #P=Q#. Stel van niet. Omdat #Q# het unieke punt van #l# is dat het dichtst bij #M# ligt, moet de afstand #r# groter zijn dan #|QM|#. Schrijf #s=\sqrt{r^2-|QM|^2}#. Vanwege de stelling van Pythagoras is dit de afstand van #P# tot #Q#. Er zijn nu twee punten op #l# die afstand #r# hebben tot #M#: het punt #P# en het punt dat aan de andere kant van #Q# ten opzichte van #P# ligt op #l#, op afstand #s# van #Q#. (Je kunt dit punt uit #P# krijgen door te speigelen aan de lijn door #QM#.) Maar dit spreekt de aanname tegen dat #l# de cirkel met middelpunt #M# raakt in #P#. De conclusie is dat #P=Q#, en dus dat #l# loodrecht staat op #QP#.
De raaklijn aan een cirkel met middelpunt #M# in een punt #P# van die cirkel wordt dus uniek bepaald door de parametervoorstelling met steunpunt #P# en een richtingsvector die gelijk is aan een normaalvector van #PM#.
- Als #s\lt r#, zodat #Q# een punt binnen de cirkel is, dan gaat geen enkele raaklijn aan de cirkel door #Q#.
- Als #s=r#, zodat #Q# een punt op de cirkel is, dan wordt de raaklijn aan de cirkel in #Q# gegeven door de vergelijking \[(m_1− q_1)x + (m_2 − q_2)y - (m_1− q_1)q_1 - (m_2 − q_2)q_2 = 0\tiny.\]In termen van inproducten:#(M-Q)\cdot \left(\rv{x,y} - Q\right) = 0#.
- Als #s\gt r#, zodat #Q# buiten de cirkel ligt, dan zijn er twee raaklijnen aan de cirkel door #Q#. Elk van de twee verbindt #Q# met een punt op #C# dat afstand #\sqrt{s^2-r^2}# tot #Q# heeft.
1. Hierboven zagen we dat het raakpunt van een raaklijn aan een cirkel met straal #M# het punt op de lijn is dat minimale afstand tot #M# heeft. Dat betekent dat alle andere punten van die lijn buiten de cirkel liggen. Hieruit volgt de uitspraak 1.
2. Als #s=r#, dan ligt #Q# op de cirkel en heeft, zoals we hierboven zagen, de raaklijn #l# aan de cirkel in #Q# een parametervoorstelling met steunpunt #Q# en een richtingsvector die gelijk is aan een normaalvector van #PM#. Maar dan is #M-Q# een normaalvector van #l#. Uit de Vergelijking van een lijn in termen van inproduct, volgt dat de lijn de vergelijking heeft #(M-Q)\cdot \left(\rv{x,y} - Q\right) = 0#. Hieruit volgt uitspraak 2, want de daar gegeven vergelijking wordt verkregen door de inproducten uit te schrijven.
3. Stel nu #s\gt r#. Als #Q# een punt van #C# is, zodat de lijn door #PQ# een raaklijn is, dan is #PQM# een driehoek met rechte hoek #Q#. We kunnen dus de stelling van Pythagoras toepassen om de afstand van #P# tot #Q# te berekenen: #|PQ|=\sqrt{s^2-r^2}#. In het bijzonder hangt die afstand niet van de keuze van #Q# af. De punten op #M# die op een raaklijn aan #C# door #P# liggen, zijn dus snijpunten van #C# met de cirkel die middelpunt #P# en straal #\sqrt{s^2-r^2}# heeft. Dit bewijst uitspraak 3.
Dit betekent dat we de raaklijnen door #P# aan de cirkel #C# kunnen bepalen door
- als #P# op #C# ligt: de unieke lijn met steunpunt #P# en richtingsvector de normaal van $PM# te berekenen.
- als #P# buiten #C# ligt: de snijpunten van #C# met de cirkel te berekenen die middelpunt #P# en straal #\sqrt{s^2-r^2}# heeft, waarbij #s=|PM|#. De raaklijnen zijn dan de lijnen door #P# en één van de twee gevonden snijpunten.
Immers, de gevraagde richtingsvector staat loodrecht op #P-M=\rv{3,2}#.
De cirkel, het punt #P# en de raaklijn zijn getekend in onderstaande figuur.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
