Vereiste voorkennis

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Inleiding

Vereiste voorkennis

De volgende hoofdstukken zijn nodig voor goed begrip van de stof van 2-Dimensionale Meetkunde: punten en lijnen:

Kennis van Kwadratische vergelijkingen strekt tot aanbeveling, maar is niet noodzakelijk.

Deze vereiste voorkennis kan getoetst worden in de hierbij geplaatste ingangstoets.

Verder is nog enige bekendheid nodig met lijnen, cirkels en driehoeken in het platte vlak. Zo veronderstellen we bekend dat

er voor elke lijn #l# en elk punt #P# precies één lijn door #P# gaat die evenwijdig is aan #l#;
de grootte van een hoek gemeten kan worden in graden en in radialen:\[x^\circ=x\text{ graden }=\frac{x\cdot \pi}{180}\text{ (radialen);}\]
de zijden van een hoek van #180^\circ# op één lijn liggen;
de som van de hoeken van een driehoek #180^\circ# is.

Hoeken

Onder de hoek tussen twee snijdende lijnen #\ell# en #m# verstaan we de korte hoek: een niet-negatief getal dat (in radialen) tussen #0# en #\pi# ligt (dus in het gesloten interval #\ivcc{0}{\pi}#); het is de lengte van de kortste boog van de cirkel met het snijpunt als middelpunt en straal #1# die van de ene lijn naar de andere gaat.

Onder de georiënteerde hoek tussen twee lijnstukken #AB# en #AC# in het vlak, die elkaar in een punt #A# snijden, verstaan we de lengte van de boog van de cirkel met #A# als middelpunt en straal #1# die tegen de klok in van het punt van die cirkel op het (zonodig verlengde van het) lijnstuk #AB# naar het (zonodig verlengde van het) lijnstuk #AC# gaat tegen de klok in.

Onder de hoek (of korte hoek, als we het onderscheid met de georieënteerde hoek willen benadrukken) tussen twee lijnstukken #AB# en #AC# die elkaar in een punt #A# snijden, verstaan we de kortste lengte van een boog van de cirkel met #A# als middelpunt en met straal #1# die van het punt van die cirkel op het (zonodig verlengde van het) lijnstuk #AB# naar het (zonodig verlengde van het) lijnstuk #AC# gaat.

We interpreteren hoeken vaak op veelvouden van #2\pi# na. Daarom kunnen hoeken negatief zijn: tussen #-\frac{\pi}{4}# en #\frac{7\pi}{4}# maken we geen verschil. Bij de georiënteerde hoek heeft dit de interpretatie dat de hoek #\frac{7\pi}{4}# tegen de klok in gelijk is aan #\frac{\pi}{4}# met de klok mee.

In het plaatje hieronder zie je links de hoek tussen #\ell# en #m# als de lengte #\varphi# en rechts de georiënteerde hoek tussen #AB# en #AC# als de lengte #\psi#. De punten #B'# en #C'# zijn zo gekozen dat ze op het lijnstuk of zonodig het verlengde van het lijnstuk #AB# respectievelijk #AC# liggen en zodat #AB'# en #AC'# lengte #1# hebben.

Bij de georiënteerde hoek is de volgorde van de lijnstukken van belang. Bij de korte hoek niet.

De georiënteerde hoek #\psi# tussen twee lijnstukken #AB# en #AC# bepaalt natuurlijk de korte hoek #\chi# tussen de lijnen door #AB# en door #AC#, maar niet andersom. De korte hoek is het getal #\chi# dat in het interval #\ivcc{0}{\pi}# ligt en gelijk is aan #\psi# of aan #\pi-\psi# op een veelvoud van #2\pi# na.

Hier zijn nog de meest voorkomende aanduidingen van de grootte van een hoek.

Scherpe, rechte en stompe hoeken

Een hoek heet

scherp als de grootte tussen de #0# en #90^\circ# ligt,
recht als ze #90^\circ# is, en
stomp als ze tussen de #90^\circ# en #180^\circ# ligt.