Spiegelingen in 2 dimensies

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Transformaties van het vlak

Spiegelingen in 2 dimensies

Als $l$ een lijn is in het vlak, dan is er één spiegeling om die lijn. Die spiegeling noteren we als $S_l$ . De transformatie $S_l$ voert een punt $P$ over in het punt dat aan de andere kant van de "spiegel" $l$ zit, op dezelfde afstand tot $l$ als $P$ en op de lijn door $P$ en de loodrechte projectie van $P$ op $l$ .

Als $\vec{v}$ een vector loodrecht op $l$ is, dan wordt de spiegeling $S_l$ beschreven door de formule

$S_l \left(\vec{w}\right) = \vec{w}-2\frac{ \vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec v\cdot \vec v}\cdot\vec{v}\tiny.$

De spiegeling om de $x$ -as, bijvoorbeeld, voert $\rv{x,y}$ over in $\rv{x,-y}$ . In termen van bovenstaande formule: de vector $\vec{v} = \rv{0,1}$ staat loodrecht op de $x$ -as, dus volgens de formule wordt $\vec{w} = \rv{x,y}$ overgevoerd in $\vec{w}-2\frac{ \vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec v\cdot \vec v}\cdot\vec{v} = \rv{x,y} - 2\frac{\rv{0,1}\cdot\rv{x,y}}{\rv{0,1}\cdot\rv{0,1}}\cdot \rv{0,1} = \rv{x,y} - \rv{0,2y} = \rv{x,-y}$ .

Laat $ABC$ een driehoek zijn met $A=\rv{0,0}$ en $B = \rv{c,0}$ voor zekere $c\gt0$ . Als $A'B'C'$ een driehoek is die congruent maar niet direct congruent is met $ABC$ , dan zijn er vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ , zodat elk hoekpunt van $A'B'C'$ in het corresponderende hoekpunt van $ABC$ overgevoerd wordt door eerst te transleren over $\vec{v}$ en dan te spiegelen aan de lijn door $\rv{0,0}$ loodrecht op $\vec{w}$ . Met andere woorden: $S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(A')\right) = A$ , $S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(B')\right) = B$ en $S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(C')\right) = C$ .

Bepaal het beeld van $\rv{-1,-8}$ onder de spiegeling $S_l$ om de lijn $l$ door de oorsprong met richtingsvector $\rv{-8,3}$ .

Geef je antwoord in de vorm $[a,b]$ voor reële getallen $a$ en $b$ .

$\rv{-{{265}\over{73}},-{{1096}\over{73}}}$

We kiezen de vector $\vec{v}=\rv{3,+8}$ loodrecht op $l$ om de formule voor de spiegeling $S_l$ om $l$ uit de theorie toe te passen. We vinden
$\begin{array}{rcl} S_l\rv{-1,-8} & = & \rv{-1,-8}-2\frac{\rv{-1,-8}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \vec{v} \\ & = & \rv{-1,-8}-2\frac{\rv{-1,-8}\cdot \rv{3,+8}}{(3)^2+(-8)^2} \rv{3,+8} \\ & = & \rv{-1,-8}-2\frac{32}{73} \rv{3,+8} \\ & = & \rv{-{{265}\over{73}},-{{1096}\over{73}}}\tiny.\end{array}$

Nieuw voorbeeld

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Transformaties van het vlak

Spiegelingen in 2 dimensies

Waarmee kan de AI Bot je helpen?