2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Hoeken
Sinus en tangens
Laat #\triangle ABC# een driehoek met rechte hoek #B# zijn. Eerder hebben we de verhouding #\frac{|AB|}{|AC|}# gekoppeld aan de cosinus. De twee andere verhoudingen #\frac{|BC|}{|AC|}# en #\frac{|BC|}{|AB|}# kunnen we ook koppelen aan de sinus en de tangens. Dan doen we nu.
sinus
Laat #\alpha# de grootte van een georiënteerde hoek zijn. Neem aan dat de hoek gevormd wordt door de twee lijnstukken #AB# en #AC# die elkaar in het punt #A# snijden, waarbij de hoek #B# in de driehoek #\triangle ABC# recht is. De oriëntatie van de hoek #\alpha# wordt bepaald doordat we van #AB# naar #AC# gaan tegen de klok in.
Als #\alpha# tussen de #0# en #180# graden ligt, dan schrijven we \[\sin(\alpha)= \frac{|BC|}{|AC|}\tiny,\] en als #\alpha# tussen de 180 en 360 graden ligt, dan schrijven we \[\sin(\alpha)= - \frac{|BC|}{|AC|}\tiny.\]Deze uitdrukking is een maat voor de grootte van #\alpha# die niet van het gekozen punt #C# afhangt, en heet de sinus van #\alpha#.
De derde verhouding, #\frac{|BC|}{|AB|}#, is het quotiënt van de sinus en de cosinus:
tangens
Laat #\alpha# een hoek zijn. De uitdrukking #\tan(\alpha)= \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}# heet de tangens van #\alpha#.
Inderdaad geldt \[ \left| \tan(\alpha)\right| = \frac{\left|\sin(\alpha)\right|}{\left|\cos(\alpha)\right|}=\frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AB|}{|AC|}} = \frac{|BC|}{|AB|}\tiny,\]zodat #\frac{|BC|}{|AB|}# op het teken na het quotiënt van #\cos(\alpha)# en #\sin(\alpha)# is.
De volgende wetten voor sinus en cosinus volgen direct uit de definitie en gelijkvormigheid van driehoeken.
Peridociteiten van sinus en cosinus
Voor elke hoek #\alpha# gelden de volgende gelijkheden.
| #\cos(\alpha+360^\circ) = \cos(\alpha)# | #\sin(\alpha+360^\circ) = \sin(\alpha)# | #\tan(\alpha+360^\circ)=\tan(\alpha)# |
| #\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)# |
#\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)# |
#\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)# |
| #\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)# |
#\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)# |
#\tan(180^\circ-\alpha) = -\tan(\alpha)# |
|
#\cos(45^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)# |
#\sin(45^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)# | #\tan(45^\circ-\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}# |
Om de juistheid van deze regels in te zien realiseren we #\alpha# als de hoek #A# van een driehoek #\triangle ABC# met rechte hoek #B# en lengte van de langste zijde #|AC|# gelijk aan #1#. De hoek #\alpha# kan dan ook gezien worden als de hoek tussen de vectoren #\vec{AB}# en #\vec{AC}#. We leggen #A# in de oorsprong en #B# langs de positieve #x#-as.
Hoeken die #360^\circ# van elkaar verschillen zijn gelijk: bij een draaing van #\vec{AB}# over dit aantal graden komen we op de zelfde paats uit. Vandaar de eerste regel van de tabel.
De hoek #-\alpha# wordt gerealiseerd door de vectoren #\vec{AC}# en #\vec{AB}#. Bij deze verwisseling van volgorde verandert #\cos# niet en #\sin# wel van teken.
De hoek #180^\circ-\alpha# wordt gerealiseerd door de vectoren #\vec{AB}# en de gespiegelde van #\vec{AC}# om de #y#-as. Daarbij verandert de #x#-coördinaat van teken, maar de #y#-coördinaat niet. Vergelijking van de twee coördinaten geeft de twee gelijkheden #-\cos(\alpha) = \cos(180^\circ-\alpha)# en #\sin(\alpha) = \sin(180^\circ-\alpha)#.
Immers, #|BC| = \sin(\alpha) |AC| = \dfrac{11}{13} \sqrt{|BC|^2+|AB|^2} = \dfrac{11}{13} \sqrt{|BC|^2+2^2}#. Als we #x=|BC|# schrijven, dan ontstaat er een vergelijking in #x#, namelijk #x= \dfrac{11}{13} \sqrt{x^2+2^2}#. Kwadrateren we beide zijden, dan zien we #x^2 =\dfrac {11^2}{13^2}\left(x^2+2^2\right)#. Dit is een lineaire vergelijking in #x^2#, met oplossing #\displaystyle x^2 = \frac{22^2}{48}#. Omdat #x\gt0#, concluderen we #|BC| = x = \frac{22}{\sqrt{48}} = \frac{11}{6}\sqrt{3}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
