2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Bissectrices
De bissectrice van een hoek
De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek in twee gelijke hoeken deelt.
De bissectrice bestaat uit alle punten die gelijke afstand tot beide ziden van de hoek hebben:
Laat #l# en #m# lijnen zijn die elkaar in het punt #A# snijden, laat #h# de bissectrice van één van de twee hoeken in #A# zijn die je krijgt door tegen de klok in rond #A# van #m# naar #l# te draaien, en laat #k# de bissectrice van één van de twee hoeken in #A# zijn die je krijgt door tegen de klok in rond #A# van #l# naar #m# te draaien. Dan is een punt van het vlak op gelijke afstand van #l# en #m# dan en slechts dan als het tot #h# of tot #k# behoort.
Als #P# een punt is dat tot #h# behoort, bekijk dan de loodrechte projectie #Q# van #P# op #l# en de loodrechte projectie #R# van #P# op #m#. De twee driehoeken #APQ# en #APR# zijn congruent. Dit volgt uit Gelijkvormigheidscriterium omdat ze twee gelijke hoeken (te weten de hoek in #A#, dankzij het feit dat #h# een bissectrice is, en de rechte hoek) en een zijde van gelijke lengte (te weten #|AP|#) hebben. In het bijzonder zijn de afstanden #|PQ|# en #|PR|# gelijk. Dit bewijst dat elk punt op #h# dezelfde afstand tot #l# als tot #m# heeft. Het bewijs voor #k# gaat net zo.
Andersom: stel dat #S# een punt is in het vlak dat gelijke afstand heeft tot #l# als tot #m#. We moeten laten zien dat #S# op #h# of op #k# ligt. Als #S# op #l# ligt, dan is de afstand van #S# tot #l# gelijk aan #0#, dus ook de afstand van #S# tot #m#, zodat #S# ook op #m# ligt. Dan geldt dus #S=A#, en is de uitspraak dat #S# op #h# of #k# ligt waar. Het bewijs gaat net zo als #S# op #m# ligt. We kunnen dus voor de rest van het bewijs aannemen dat #S# niet op #l# of #m# ligt.
Zonder verlies van algemeenheid, nemen we aan dat je het punt #S# tegenkomt als je van #m# tegen de klok in naar #l# beweegt. Ook de lijn #l# ligt in die sector. Laat #T# de loodrechte projectie van #S# op #l# zijn en #U# de loodrechte projectie van #S# op #m#. Dan zijn, volgens een redenering die lijkt op bovenstaande, de driehoeken #AST# en #ASU# congruent omdat ze twee overeenkomstige zijden van gelijke lengte (namelijk #AS# en #AS#, respectievelijk #ST# en #SU#) en een gelijke hoek (namelijk #T# en #U#, allebei recht) hebben. Dat heeft tot gevolg dat ook de hoeken #A# in #AST# en #ASU# gelijk zijn. Maar dat betekent dat #S# op de bissectrice #h# ligt.
Het volgende speciale geval is van nut bij het bepalen van een richtingsvector voor een bissectrice.
Richtingsvector van een bissectrice in een rechthoekige driehoek
Laat #ABC# een niet-ontaarde driehoek zijn met #A# gelijk aan de oorsprong en #B# een punt op de #x#-as, waarvan de hoek recht is. De vector\[\rv{a,b-c} \tiny,\]waarbij #a=|BC|#, #b=|AC|# en #c=|AB|#, is een richtingsvector van de bissectrice van #A# in #ABC#.
Bewijs: We geven met #\alpha# de hoek van #A# in #ABC# aan. De lijn door #AC# heeft dan richtingsvector #\rv{1,\tan (\alpha)}# en de bissectrice van #A# heeft richtingsvector #\rv{1,\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}#. We zoeken een uitdrukking in #\tan(\alpha)# in plaats van #\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)#. Daartoe gebruik we de additieformule van de tangens met #\alpha=\beta=\frac{\alpha}{2}#. Deze geeft\[\tan(\alpha)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2}\tiny.\]We vermenigvuldigen links en rechts met de noemer van de breuk en halen alle termen naar links:\[-\tan(\alpha)\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2-2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\tan(\alpha)=0\tiny.\]Substitueren we #x# voor #\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)#, dan ontstaat de kwadratische vergelijking #-\tan(\alpha)x^2-2x+\tan(\alpha)=0# met onbekende #x#, die we kunnen oplossen met de abc-formule:\[\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=x=\frac{-1\pm\sqrt{1+\tan(\alpha)^2}}{\tan(\alpha)}\tiny.\]Omdat #\alpha# een scherpe hoek is, is de tangens ervan positief, dus moeten we het plusteken gebruiken. De vector\[\rv{1,\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\rv{1,\frac{-1\pm\sqrt{1+\tan(\alpha)^2}}{\tan(\alpha)}} \]is dus een richtingsvector van de bissectrice van #A#. Maar dan ook het scalaire veelvoud \[\begin{array}{rcl}c\cdot\rv{\tan(\alpha),-1+\sqrt{1+\tan(\alpha)^2}}&=&c\cdot\rv{\frac{a}{c},-1+\sqrt{1+\left(\frac{a}{c}\right)^2}}\\ &=&\rv{a,-c+\sqrt{c^2+a^2}}\end{array}\]De te bewijzen formule volgt nu door toepassing van de stelling van Pythagoras: #b=\sqrt{c^2+a^2}#.
Als steunpunt van de bissectrice kiezen we het hoekpunt #A=\rv{0,0}#. Om de richtingsvector te bepalen, kiezen we een punt #D# op de lijn door #AC# dat op gelijke afstand van #A# ligt als #B# en dat in de richting van de vector #\vec{AC}# (dus rechts van #A#) ligt. Dan is namelijk het midden #M=\frac{1}{2}(B+D)# van #BD# een punt op de gezochte bissectrice, zodat #M-A# een richtingsvector is. De details staan hieronder.
Bepaling #D#: Het punt #D# is een scalair veelvoud van #\rv{{{1276}\over{25}},0}#, dus een punt op de #x#-as, zodanig dat het dezelfde afstand tot #0# heeft als #B#. Dit betekent dat we #D=\rv{d,0}# kiezen met #d=\pm\sqrt{\left({{576}\over{25}}\right)^2+\left({{48}\over{5}}\right)^2} =\pm {{624}\over{25}}#. Omdat het punt #D# rechts van #A# ligt, moet het #D=\rv{{{624}\over{25}},0}# zijn. Zie onderstaande figuur.
Het midden #M# van #BC#: dit is #M = \frac{1}{2}\left(B+D\right) = \frac{1}{2}\rv{{{576}\over{25}}+{{624}\over{25}},{{48}\over{5}}} = \rv{24,{{24}\over{5}}}#.
#M# ligt op de bissectrice: Vanwege de Congruentiecriteria zijn de driehoeken #AMB# en #AMD# congruent: de lengtes van de overeenkomstige zijden zijn even lang. Dan zijn dus ook de overeenkomstige hoeken in #A# even groot. Dit betekent dat #M# op de bissectrice van de hoek #A# tin #ABC# ligt.
Richtingsvector van de bissectrice: #M-A = M= \rv{24,{{24}\over{5}}}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
