2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Lijnen
Snijpunt van twee lijnen
In de theorie Vergelijkingen en lijnen hebben we besproken dat twee lijnen in het vlak ten opzichte van elkaar in drie verschillende posities kunnen liggen:
- ze kunnen elkaar in één punt snijden,
- ze kunnen evenwijdig (of parallel) maar ongelijk zijn, of
- ze kunnen samenvallen.
Er werd ook besproken hoe je met vergelijkingen van de lijnen het snijpunt kunt bepalen en hoe je kunt onderzoeken welk geval zich voordoet. Hier laten we zien hoe je dat kunt doen als een of elk van beide lijnen door een parametervoorstelling gegeven is.
Een methode die zeker werkt, is om de parametervoorstellingen aan de hand van de theorie Parametervoorstelling en vergelijking van een lijn om te zetten in vergelijkingen en dan de oplossing uit theorie Vergelijkingen en lijnen toepassen. Hieronder staat een meer directe methode.
Snijpuntbepaling van twee lijnen
Het snijpunt, danwel het niet bestaan van een snijpunt of het samenvallen van twee lijnen kan als volgt worden bepaald:
- vergelijkingen voor #l# en #m#: los de twee lineaire vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op
- parametervoorstelling voor #l# en vergelijking voor #m#: vul de voorstelling van #l# met parameter #\lambda# in de vergelijking van #m# in en los de lineaire vergelijking met onbekende #\lambda# op
- parametervoorstellingen voor #l# en #m#: stel de twee parametervoorstellingen met parameter #\lambda# voor #l# en #\mu# voor #m# gelijk en los de twee lineaire vergelijkingen (1 per coördinaat) op.
Twee lijnen hebben precies één snijpunt als hun richtingsvectoren geen scalaire veelvouden van elkaar zijn.
De uitspraken volgen uit het feit dat de volgende drie uitspraken equivalent zijn:
- het punt #\rv{a,b}# ligt op de lijn met vergelijking #cx+dy=f#
- #x=a\land y=b# is een oplossing van de vergelijking #cx+dy=f#
- #c\cdot a +d\cdot b=f#
De uitspraak komt overeen met de eerdere uitspraak dat de richtingscoëfficiënten verschillen precies dan als er één snijpunt is. Immers, als de richtingscoëfficiënten gelijk zijn, dan zijn de richtingsvectoren scalaire veelvouden van elkaar. Merk op dat als de richtingscoëfficiënt niet gedefinieerd is, de lijn verticaal is, zodat de richtingsvector een scalair veelvoud van #\rv{0,1}# is.
Het snijpunt heeft de vorm #\rv{-4,-5}+\lambda\rv{7,-1}=\rv{-4+\lambda \cdot 7,-5+\lambda \cdot -1}# (want het punt ligt op #m#) en is een oplossing van de vergelijking #4 x + 27 y - 5=0# (want het punt ligt op #l#). Het voldoet dus aan \[ 4 \cdot \left(-4+7 \cdot \lambda \right) + 27 \cdot \left(-5-1\cdot \lambda\right)- 5=0\tiny. \]Oplossen van deze lineaire vergelijking met onbekende #\lambda# geeft #\lambda = 156#. Invullen van deze waarde van #\lambda # in de algemene vorm #\rv{ -4 + 7 \cdot \lambda , -5 -1\cdot \lambda }# leidt tot de oplossing #\rv{ -4 + 7\cdot 156 , -5 -1 \cdot 156 }#, wat te vereenvoudigen is tot # \rv{ 1088 , -161 }#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
