2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Lijnen
Parametervoorstelling en vergelijking van een lijn
We zijn lijnen op twee manieren tegengekomen:
| naam | omschrijving van de lijn |
| parametervoorstelling | de verzameling punten van de vorm #\rv{v_1,v_2}+\lambda\rv{r_1,r_2}#, waarbij #\lambda# alle reële getallen doorloopt |
| vergelijking | de verzameling oplossingen #\rv{x,y}# van een lineaire vergelijking #ax+by+c=0#, waarbij #a#, #b# en #c# reële getallen zijn |
Bij de parametervoorstelling moet ten minste één van #r_1#, #r_2# ongelijk aan #0# zijn en bij de vergelijking moet ten minste één van #a#, #b# ongelijk aan #0# zijn. In het eerste uitzonderingsgeval bestaat de verzameling alleen uit het punt #\rv{v_1,v_2}# en in het tweede uitzonderingsgeval heeft de verzameling geen enkel punt als #c\ne0# en is de verzameling het hele vlak als #c=0#.
Overgangen tussen parametervoorstelling en vergelijking
Je kunt als volgt van de ene voorstelling van een lijn naar de andere overgaan.
- Van parametervoorstelling naar vergelijking: Als de parametervoorstelling #\rv{v_1,v_2} + \lambda\rv{r_1,r_2}# is, dan is een vergelijking van de lijn: \[r_2 x- r_1 y -\left( r_2v_1-r_1v_2\right)=0\tiny.\]
- Van vergelijking naar parametervoorstelling: Vind een oplossing #\rv{x,y} = \rv{v_1,v_2}# van de vergelijking #ax+by+c=0#. Dan is \[\rv{v_1,v_2}+\lambda\rv{-b,a}\] een parametervoorstelling van de lijn.
In feite is het oplossen van de vergelijking al een methode om de parametervoorstelling te bepalen. We hebben hier een oplossingsmethode aangegeven die iets afwijkt van de methode behandeld in de theorie van lineaire vergelijkingen.
Interpretatie van de overgangen:
- Van parametervoorstelling naar vergelijking: In termen van de richtingsvector #\rv{r_1,r_2}# is de richtingscoëfficiënt #\frac{r_2}{r_1}#. Hiermee kunnen we de coëfficiënten van #x# en #y# opschrijven. De constante wordt bepaald door de eis dat het steunpunt #\rv{v_1,v_2}# aan de vergelijking voldoet.
- Van vergelijking naar parametervoorstelling: De oplossing is dus het steunpunt en uit de richtingscoëfficiënt #\frac{-a}{b}# vinden we de richtingsvector #\rv{-b,a}#.
We laten nog zien waarom de overgangen werken:
Van parametervoorstelling naar vergelijking: Het steunpunt #\rv{v_1,v_2}# is een oplossing van de vergelijking #r_2 x- r_1 y - \left(r_2v_1-r_1v_2\right)=0#. Immers, als je #x=v_1# en #y=v_2# invult, krijg je #r_2 v_1- r_1 v_2 = r_2v_1-r_1v_2#, wat herleid kan worden tot #0=0#. Als je #x=v_1+r_1# en #y=v_2+r_2# invult in de vergelijking, krijg je ook een waarheid, zodat het punt #\rv{v_1,v_2}+\rv{r_1,r_2}#, dat bij parameterwaarde #\lambda=1# hoort, ook tot de lijn van de vergelijking behoort. Maar twee punten bepalen een unieke lijn. De lijn van de vergelijking moet dus de lijn van de parametervoorstelling zijn.
Van vergelijking naar parametervoorstelling: De oplossing #\rv{x,y}=\rv{v_1,v_2}# van de vergelijking #ax+by=c# is een punt van de lijn gegeven door de vergelijking en wordt gekozen als steunpunt voor de parametervoorstelling. Omdat #\lambda\rv{-b,a}# een oplossing is van de vergelijking #ax+by=0#, is elk punt van de vorm #\rv{v_1,v_2}+\lambda\rv{-b,a}=\rv{v_1-\lambda b,v_2+\lambda a}# een oplossing van de vergelijking #ax+by=c#:\[\begin{array}{crl}a\left(v_1-\lambda b\right)+b\left(v_2+\lambda a\right) &=& av_1-\lambda ab+bv_2+\lambda ab\\ &\phantom{x}&\color{blue}{\text{haakjes wegwerken}}\\ &=&av_1+bv_2\\ &&\color{blue}{\text{vereenvoudigen}}\\ &=&c\\ &&\color{blue}{\rv{v_1,v_2}\text{ is een oplossing van }ax+by=c}\end{array}\]De parametervoorstelling beschrijft dus de oplossingen van de vergelijking, en daarmee de punten van de lijn.
Als #b=0#, dan is de richtingscoëfficiënt niet, maar de richtingsvector wel gedefinieerd.
Invullen van #x=0# maakt van #2\cdot x+y-4=0# de lineaire vergelijking #y-4=0# met onbekende #y#, die als oplossing #y=4# heeft, zodat #\vec{v} = \rv{ 0 , 4 }# een punt op de lijn #l# is. Dit punt kunnen we als steunpunt kiezen.
Volgens de theorie is de vector #\rv{-b,a}# een richtingsvector van de lijn gegeven door #ax+by+c=0#. Daarom is #\vec{r}=\rv{ -1 , 2 }# een richtingsvector van de lijn #l# met vergelijking #2\cdot x+y-4=0#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
