Middelloodlijnen

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Afstand

Middelloodlijnen

Laat #A# en #B# een tweetal punten in het vlak zijn.

middelloodlijn De middelloodlijn van het lijnstuk #AB# (of ook wel: van #A# en #B#) is de lijn door het midden van het lijnstuk #AB# die loodrecht op de lijn door #A# en #B# staat.

De middelloodlijn van het lijnstuk hangt niet af van de volgorde van #A# en #B#. Met andere woorden: de middelloodlijn van #AB# valt samen met de middelloodlijn van #BA#.

Een parametervoorstelling van de middelloodlijn van #AB# is \[\frac{1}{2}\rv{a_1+b_1,a_2+b_2}+\lambda\rv{b_2-a_2,a_1-b_1}\tiny.\] De middelloodlijn van het lijnstuk #AB# bestaat uit alle punten die even ver van #A# als van #B# liggen.

Om de uitspraken te bewijzen, schrijven we de punten uit in termen van coördinaten: #A=\rv{a_1,a_2}# en #B = \rv{b_1,b_2}#. Het midden van het lijnstuk #AB# heeft coördinaten #\frac{1}{2}\rv{a_1+b_1,a_2+b_2}#. De richtingsvector van de lijn door #A# en #B# is gelijk aan #\rv{b_1-a_1,b_2-a_2}#. Volgens de Bepaling van de loodrechte vector is de richtingsvector van de lijn door het midden van #AB# die daar loodrecht op staat, gelijk aan #\rv{b_2-a_2,a_1-b_1}#. Een parametervoorstelling van de middelloodlijn van #AB# is dus #\frac{1}{2}\rv{a_1+b_1,a_2+b_2}+\lambda\rv{b_2-a_2,a_1-b_1}#; dit bewijst de eerste uitspraak.

Om de tweede uitspraak te bewijzen, gebruiken we de theorie van Driehoeken en verplaatsen we #A# naar #\rv{0,0}# en #B# naar #\rv{c,0}#. Dit betekent dat we #a_1=a_2=b_2=0# kiezen en #c# voor #b_1# schrijven. Vullen we deze waarden in in de hierboven gegeven parametervoorstelling van de middelloodlijn, dan krijgen we \[\rv{\frac{c}{2},0}+\lambda\rv{0,1}\tiny.\]

Laat #\rv{x,y}# een willekeurig punt van het vlak zijn. De afstand van #\rv{x,y}# tot #A# is gelijk aan #\sqrt{x^2+y^2} # en de afstand van #\rv{x,y}# tot #B# is gelijk aan #\sqrt{(x-c)^2+y^2}#. Deze twee afstanden zijn gelijk dan en slechts dan als #\sqrt{ x^2+y^2}= \sqrt{(x-c)^2+y^2}#. Omdat beide zijden van de vergelijking niet negatief zijn, is dit het geval dan en slechts dan als hun kwadraten gelijk zijn: \[ x^2+y^2= (x-c)^2+y^2\]

Door de haakjes weg te werken en gelijksoortige termen bij elkaar te brengen, zien we dat de vergelijking te vereenvoudigen is tot #c^2-2cx=0#. Omdat we #c\gt0# veronderstellen (de punten #A# en #B# vallen niet samen), komt dit neer op #x-\frac{c}{2}=0#. Hiermee hebben we ingezien dat de afstand van #\rv{x,y}# tot #A# gelijk is aan de afstand tot #B# dan en slechts dan als #x=\frac{c}{2}#. Dit is een vergelijking van de lijn met parametervoorstelling #\rv{\frac{c}{2},0}+\lambda\rv{0,1}#. Maar dit is de parametervoorstelling van de middelloodlijn van #AB#. We hebben dus afgeleid dat een punt #\rv{x,y}# dezelfde afstand tot #A# als tot #B# heeft dan en slechts dan als het op de middelloodlijn ligt. Dit is wat bewezen moest worden.

Geef een vergelijking voor de middelloodlijn van de punten #A=\rv{-41,-36}# en #B = \rv{29,64}#.

Voer de vergelijking in het invoerveld in als #ax+by+c=0# voor geschikte reële getallen #a#, #b# en #c#.

In de figuur hieronder is de middelloodlijn van het lijnstuk #AB# gestippeld getekend.

#7\cdot x+10\cdot y-98=0#

De middelloodlijn bestaat uit de punten die gelijke afstand tot #A# en tot #B# hebben. Voor een punt met coördinaten #\rv{x,y}# betekent dit \[\sqrt{(x+41)^2+(y+36)^2} =\sqrt{(x-29)^2+(y-64)^2}\tiny.\]
Omdat beide zijden van deze vergelijking niet negatief zijn, is ze equivalent met de gekwadrateerde versie:
\[{(x+41)^2+(y+36)^2} ={(x-29)^2+(y-64)^2}\tiny.\]Werken we de haakjes weg, dan vinden we \[x^2+82\cdot x+y^2+72\cdot y+2977=x^2-58\cdot x+y^2-128\cdot y+4937\tiny.\] Brengen we alle termen naar links, dan ontstaat de vergelijking #140\cdot x+200\cdot y-1960=0#, die equivalent is met #7\cdot x+10\cdot y-98=0#.

Nieuw voorbeeld