Niet elk punt heeft een kortste afstand tot elk meetkundig object. Er zijn bijvoorbeeld grafieken van functies die punten hebben die willekeurig dicht bij de oorsprong komen, terwijl de oorsprong er niet op ligt. De afstand tussen de oorsprong en een punt van de grafiek is dan "willekeurig klein", maar niet $0$. We zullen met behulp van de stelling van Pythagoras inzien dat de kortste afstand van een punt tot een lijn wel bestaat, en gerealiseerd wordt door één speciaal punt op de lijn.

Schrijf $P = \rv{p,q}$ en laat $Q$ het punt op de lijn $l$ zijn, zodat de lijn door $P$ en $Q$ loodrecht staat op $l$. Dan is $Q$ het dichtst bij $P$ van alle punten op $l$. Dit volgt uit de stelling van Pythagoras omdat voor elk ander punt $E$ op de lijn $l$, de afstand tot $P$ de lengte van de schuine zijde van de driehoek $PQE$ is, en dus groter is dan de lengte van de rechte zijde $QP$.

Om de formules te bewijzen, stellen we vast dat de vector $\rv{a,b}$ loodrecht staat op de richtingsvector $\rv{b,-a}$ van $l$. Deze vaststelling volgt uit de volgende twee feiten:

1. De vector $\rv{b,-a}$ is een richtingsvector van $l$ volgens Parametervoorstelling en vergelijking van een lijn.
2. De vector $\rv{a,b}$ staat loodrecht op $\rv{b,-a}$ volgens Loodrechte vectoren.

Dankzij deze vaststelling hebben we de volgende parametervoorstelling voor de lijn door $P$ die loodrecht staat op $l$:

$$\rv{p,q}+\lambda\rv{a,b}\tiny.$$

Het snijpunt van deze lijn met $l$ kunnen we bepalen door coördinaten van de parametervoorstelling in te vullen in de vergelijking voor $l$:

$$a\left(p+a \lambda\right) + b\left(q+b\lambda \right) + c=0\tiny.$$ Dit is een lineaire vergelijking met onbekende $\lambda$. Er is precies één oplossing: $$\lambda = \frac{-ap-bq-c}{a^2+b^2}\tiny.$$ Invullen van deze oplossing in de parametervoorstelling geeft het snijpunt: $$Q = \rv{p,q}-\frac{ap+bq+c}{a^2+b^2}\rv{a,b}\tiny.$$ De afstand $|PQ|$ van $P$ tot $Q$, tenslotte, is gelijk aan de afstand van $\vec{0}$ tot $Q-P = \frac{-ap-bq-c}{a^2+b^2}\rv{a,b}$, en dat is de lengte van de vector $\parallel \vec{PQ} \parallel$: $$\parallel \vec{PQ} \parallel =\sqrt{\left(\frac{-ap-bq-c}{a^2+b^2}\right)^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\tiny.$$