2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Hoeken
Cosinus
De grootte van de hoeken geven we aan met Griekse letters als #\alpha#, #\beta#, #\gamma# en #\varphi#. In het algemeen meten we ze in graden.
We maken gebruik van het feit dat de som van hoeken van een driehoek precies #180^\circ# is. We brengen in herinnering dat een driehoek rechthoekig is als het een rechte hoek heeft, dat een hoek scherp heet als de grootte tussen de #0# en #90^\circ# ligt, recht als ze #90^\circ# is, en stomp als ze tussen de #90^\circ# en #180^\circ# ligt.
Gelijkvormigheid van rechthoekige driehoeken
Stel dat #\triangle ABC# en #\triangle A'B'C'# twee driehoeken zijn met rechte hoeken in #B# en in #B'#. Stel dat ook de hoeken #A# en #A'# even groot zijn. Dan geldt:
\[\begin{array}{ccccc}\frac{|AB|}{|AC|}= \dfrac{|A'B'|}{|A'C'|}\tiny,&\ &\frac{|BC|}{|AC|}=\dfrac{|B'C'|}{|A'C'|}\tiny, &\ &\frac{|BC|}{|AB|}= \dfrac{|B'C'|}{|A'B'|} \tiny.\end{array}\]
Om de drie gelijkheden te bewijzen, constateren we dat #ABC# gelijkvormig is met #A'B'C'#. Dit betekent dat de verhouding tussen twee overeenkomstige zijden gelijk is voor beide driehoeken, wat ook de bewering van de te bewijzen stelling is. De reden dat de twee driehoeken gelijkvormig zijn, is dat de overeenkomstige hoeken gelijke grootte hebben:
- #A# en #A'# zijn elk groot #\alpha#,
- #B# en #B'# zijn beide recht, en
- #C# en #C'# zijn elk groot #90^\circ-\alpha#; immers de som van de drie hoeken is gelijk aan #180^\circ#.
Daarmee is aan het gelijkvormigheidscriterium voldaan, zodat #ABC# inderdaad gelijkvormig is met #A'B'C'#.
Een belangrijke consequentie van deze stelling is dat we de cosinus van een hoek kunnen definiëren:
cosinus
Laat #\alpha# de georiënteerde hoek zijn die gevormd wordt door de twee lijnstukken #AB# en #AC# die elkaar in het punt #A# snijden en veronderstel dat #B# het snijpunt is van de lijn door #AC# met de lijn door #C# loodrecht op #AC#.
Als #\alpha# scherp is, dan schrijven we #\cos(\alpha)# voor de uitdrukking \[\cos(\alpha)= \frac{|AB|}{|AC|}\tiny,\]en als #\alpha# stomp is, dan schrijven we \[\cos(\alpha)= - \frac{|AB|}{|AC|}\tiny.\]
Deze uitdrukking is een maat voor de grootte van #\alpha# die niet van de lengte van de lijnstukken #AC# en #AB# afhangt en evenmin van de oriëntatie van de hoek, en heet de cosinus van #\alpha#.
Om in te zien dat de cosinus niet van de lengtes van de lijnstukken afhangt, bekijken we een andere keuze van #C#, zeg #C'# op #AC# of het verlengde ervan, en geven we met #B'# het snijpunt aan van #AC# en de lijn door #D# loodrecht op #AC# aan. We willen dan inzien dat #\frac{|AB|}{|AC|}# gelijk is aan #\frac{|AC'|}{|AB'|}#. Maar dit volgt uit bovenstaande stelling met #A'=A# omdat de driehoeken #\triangle ABC# en #\triangle AB'C'# gelijke hoeken hebben in #A# (namelijk #\alpha#) en #B# (namelijk recht).
Het feit dat #\alpha# niet afhangt van de oriëntatie van de hoek volgt uit het feit dat #\triangle ABC# gelijkvormig is met de driehoek #\triangle ABC'#, waarbij #C'# zodanig op de lijn door #AC# gelegen is dat #BC'# loodrecht op #AC# staat.
Als #|AC|\gt|AC'|#, dan liggen de betrokken punten zoals in het volgende plaatje, waarin #a#, #b# en #c# de lengtes van de overstaande zijden van #A#, #B# en #C# zijn.
Om dit in te zien, gebruiken we #\cos(\alpha) = \dfrac{|AB|}{|AC|}= \dfrac{216}{|AC|}#. De lengte van #AC# berekenen we met de stelling van Pythagoras: \[|AC|^2 = |AB|^2+|BC|^2 = {216}^2+{405}^2 =210681= 459^2\tiny,\] dus #|AC| = 459#. We concluderen dat #\cos(\alpha) =\frac{216}{459}=\frac{8}{17}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
