2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Transformaties van het vlak
Draaiingen in 2 dimensies
Om driehoeken in het platte vlak te verplaatsen en veranderen, hebben we, naast translatie en schaling, gebruik gemaakt van draaiingen en spiegelingen. Deze transformaties van het vlak zijn moeilijker te beschrijven dan translatie en schaling.
We zullen ons in eerste instantie alleen bezighouden met draaiingen en spiegelingen die de oorsprong #\rv{0,0}# op zijn plaats laten.
De draaiing #R_{\varphi}# van het vlak over #\varphi# graden tegen de klok in om de oorsprong wordt gegeven door het voorschrift
\[R_{\varphi} \rv{x,y} =\rv{\cos(\varphi) x+\sin(\varphi) y,-\sin(\varphi)x+\cos(\varphi)y}\tiny.\]
De draaiing laat #\rv{0,0}# inderdaad vast: #R_\varphi \rv{0,0} = \rv{0,0}#.
Speciale gevallen:
#\varphi=90^\circ#. Omdat #\cos(90^\circ) = 0# en #\sin(90^\circ) = 1# vinden we #R_\varphi\rv{x,y} = \rv{y,-x}#. Zoals verwacht.
Eerder hebben we directe congruentie gedefinieerd met behulp van translaties en draaiingen. Nu zijn we in staat precies aan te geven hoe een driehoek in een andere is over te voeren als ze direct congruent zijn.
Laat #ABC# een driehoek zijn met #A=\rv{0,0}# en #B = \rv{c,0}# voor zekere #c\gt0#. Als #A'B'C'# een driehoek is die direct congruent is met #ABC#, dan zijn er een vector #\vec{v}# en een hoek #\varphi#, zodat elk hoekpunt van #A'B'C'# in het corresponderende hoekpunt van #ABC# overgevoerd wordt door eerst te transleren over #\vec{v}# en dan te draaien over #\varphi#. Met andere woorden: #R_\varphi\left(T_{\vec{v}}(A')\right) = A#, #R_\varphi\left(T_{\vec{v}}(B')\right) = B# en #R_\varphi\left(T_{\vec{v}}(C')\right) = C#.
De formule voor de cosinus in termen van het inproduct geeft \[ \cos(\varphi) = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\parallel \vec{v} \parallel\cdot \parallel \vec{w} \parallel} =\frac{25\cdot 10+34\cdot 41}{\sqrt{25^2+34^2}\cdot\sqrt{ 10^2+41^2}} =\frac{1644}{\sqrt{1781}\cdot\sqrt{ 1781}} = \frac{1644}{1781} = {{12}\over{13}} \tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
