Driehoeken

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Coördinaten in 2 dimensies

Driehoeken

Een driehoek in het platte vlak wordt gegeven door drie punten. Door de lijnstukken tussen elk tweetal van deze punten te tekenen, komt de driehoek naar voren. De drie punten heten de hoekpunten van de driehoek. Als de punten met $A$ , $B$ en $C$ aangegeven worden dan verwijzen we vaak naar de driehoek met $ABC$ . Net zo geven we het lijnstuk tussen $A$ en $B$ aan met $AB$ . Dit is de zijde van de driehoek tegenover $C$ . De lengte $|AB|$ van $AB$ wordt ook wel met $c$ (de bijbehorende kleine letter) aangegeven.

Als $A$ , $B$ en $C$ op één lijn liggen, dan noemen we de driehoek ontaard.

Door ontaarde driehoeken niet uit te sluiten, komen we in het vervolg ook uitspraken over lijnstukken tegen. Immers, het lijnstuk $AB$ is op te vatten als de ontaarde driehoek $ABB$ .

Er zijn drie manieren waarop we twee driehoeken $ABC$ en $A'B'C'$ vergelijken:

Als $ABC$ in $A'B'C'$ over te voeren is door hem te draaien en te schuiven, dan heten $ABC$ en $A'B'C'$ direct congruent.

Als $ABC$ in $A'B'C'$ over te voeren is door hem te draaien en te schuiven en eventueel te spiegelen, dan heten $ABC$ en $A'B'C'$ congruent.

Als $ABC$ in $A'B'C'$ over te voeren is door hem te draaien en te schuiven, eventueel te spiegelen, en op te schalen, dan heten $ABC$ en $A'B'C'$ gelijkvormig.

Als $A'B'C'$ direct congruent is met $ABC$ , dan ook congruent.

Als $A'B'C'$ congruent is met $ABC$ , dan ook gelijkvormig.

In de figuur hieronder zijn de driehoeken $ABC$ , $DEF$ , $GHJ$ , $KLM$ en $PQR$ getekend.

Welke van de volgende driehoeken is/zijn direct congruent met $ABC$ ?

Alleen $DEF$

Immers, $DEF$ is in het vlak te verschuiven en te draaien tot ze op $ABC$ ligt.

Als we het lijnstuk $HJ$ naar $BC$ verschuiven, dan ligt $G$ aan de andere kant van $BC$ dan $A$ . De driehoeken $ABC$ en $DEF$ zijn dus niet direct congruent.

Omdat het lijnstuk $LM$ korter is dan $BC$ , zijn de driehoeken $ABC$ en $KLM$ niet direct congruent.

Omdat de driehoek $PQR$ een rechte hoek in $P$ heeft, en de driehoek $ABC$ geen rechte hoek heeft,
zijn de driehoeken $ABC$ en $PQR$ niet direct congruent.

Nieuw voorbeeld

Het nut van onderstaande stelling is dat we allerlei meetkundige eigenschappen van driehoeken kunnen vaststellen door op coördinaten over te gaan en daarmee te rekenen.

Elke driehoek $ABC$ in het vlak is direct congruent met een driehoek $A'B'C'$ , zodat $A'=\rv{0,0}$ en $B'=\rv{c,0}$ , waarbij $c\ge0$ . Als $c=0$ , dan is $ABC$ ontaard.

Elke driehoek $ABC$ is congruent met een driehoek $A'B'C'$ , zodat $A' = \rv{0,0}$ , $B'=\rv{c,0}$ en $C'=\rv{c_1,c_2}$ , waarbij $c\ge0$ en $c_2\ge0$ . Als $c=0$ of $c_2=0$ , dan is $ABC$ ontaard.

Elke niet-ontaarde driehoek $ABC$ is gelijkvormig met een driehoek $A'B'C'$ , zodat $A' = \rv{0,0}$ , $B'=\rv{1,0}$ en $C'=\rv{c_1,c_2}$ , waarbij $c_2\gt0$ .

Om dit in te zien, verschuiven we de driehoek $ABC$ eerst zodanig dat $A$ op $\rv{0,0}$ terecht komt.

Dan draaien we de driehoek om $A=\rv{0,0}$ heen totdat $B$ op de positieve $x$ -as terecht komt. Dit betekent dat de coördinaten van $B$ gelijk zijn aan $\rv{c,0}$ voor een getal $c\gt0$ . Dit lukt alleen niet als $B=A$ , in welk geval de driehoek $ABC$ ontaard is. Hiermee is de uitspraak over het geval van directe congruentie afgeleid.

Het geval van congruentie volgt hieruit, want spiegeling om de $x$ -as volstaat om de driehoek $ABC$ vanuit de positie van de vorige alinea in de gewenste vorm, namelijk met $c_2\ge0$ , te krijgen. Omdat $c_2=0$ tot een ontaarde driehoek zou leiden, moet $c_2\gt0$ gelden.

In het geval van gelijkvormigheid kunnen we de driehoek $ABC$ nog met de scalar $\frac{1}{c}$ schalen, zodat $B$ op $\frac{1}{c}\cdot\rv{c,0} = \rv{1,0}$ terecht komt.

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Coördinaten in 2 dimensies

Driehoeken

Waarmee kan de AI Bot je helpen?