2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Oppervlakte in het vlak
Pythagoras
De bekende stelling van Pythagoras kan bewezen worden met wat algebra en de theorie van oppervlakte.
Rechte hoek
Een hoek van 90 graden heet een rechte hoek.
Een driehoek met een rechte hoek heet rechthoekig.
De stelling van Pythagoras
Als #b# en #c# de lengtes zijn van een rechthoekige driehoek die aan de rechte hoek liggen, dan voldoet de lengte #a# van de schuine zijde aan \[a^2=b^2+c^2\tiny.\]
Hier is een bewijs dat oppervlakte gebruikt. Laat #P# een rechthoekige driehoek zijn met rechte hoek #A# en andere hoeken #B# en #C#, zodat de lengte van #AB# gelijk is aan #c# en de lengte van #AC# gelijk is aan #b#. Maak nu het vierkant met zijde #BC# zodanig af, dat #A# erin ligt. We noemen de hoekpunten die je tegenkomt na #B# en #C# als je met de klok mee rond gaat: #D# en #E#. Zie de tekening hieronder.
De grootte van de hoek die de lijnstukken #AC# en #DC# maken in #C# is gelijk aan de hoek #B# in #P#, dat wil zeggen, de hoek die de lijnen #AB# en #BC# maken in #B#. Dit heeft tot gevolg dat als je de loodlijn trekt vanuit #D# op de lijn #AC# en het snijpunt #F# noemt, de nieuwe driehoek #FCD# op verschuivingen na gelijk is aan #P#.
Als we zo doorgaan, dus uit #FCD# een nieuwe driehoek maken door #CD# naar #DE# te verschuiven, dan ontstaat er een driehoek #GDE# met #G# op de lijn #FD#, en vervolgens een driehoek #HEB# met #H# op de lijn #GE#. Zie de tekening. De vier driehoeken #ABC#, #FCD#, #GDE# en #HEB# hebben elk dezelfde oppervlakte als #P#. Samen met het vierkant #V# in het midden overdekken ze de rechthoek: de oppervlakte van het vierkant #BCDE# is gelijk aan viermaal de oppervlakte van #P# en éénmaal de oppervlakte van het vierkant #AFGH#.
We zetten deze formule om in de lengtes van de zijden van #P#. De oppervlakte van het grote vierkant #BCDE# is #a^2#. De oppervlakte van #P# is #\frac{1}{2}b\cdot c#. De lengte van een zijde van het kleine vierkant #AFGH# is #|b-c|#.
Voor de oppervlakte van #BCDE# volgt dus
\[a^2 = 4\cdot \frac{1}{2}{b\cdot c} + |b-c|^2 =2b\cdot c + b^2-2b\cdot c+c^2 = b^2+c^2\tiny.\]
Immers, volgens de stelling van Pythagoras geldt voor de lengte #a# van de schuine zijde dat #a^2=b^2+c^2#, waarbij #b# en #c# de lengtes van de overige twee zijden zijn. Omdat de lengte niet negatief is, volgt
\[a=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{\left({{33}\over{49}}\right)^2+\left({{8}\over{7}}\right)^2} = \sqrt{{{1089}\over{2401}}+{{64}\over{49}}}=\sqrt{{{4225}\over{2401}}}={{65}\over{49}} \tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
