Het begrip oppervlakte in het vlak

2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Oppervlakte in het vlak

Het begrip oppervlakte in het vlak

Een manier om de grootte van meetkundige objecten in het platte vlak, als driehoeken, rechthoeken en cirkels, te meten, is de oppervlakte. De één-dimensionale tegenhanger is lengte. Lengte en oppervlakte kunnen worden gemeten in fysieke grootheden als respectievelijk #\rm m# en #{\rm m}^2#, maar dat laten we vaak achterwege. We willen de oppervlakte nemen van gebieden in het platte vlak.

Een gebied is een deelverzameling van het platte vlak bestaande uit alle punten die binnen een bepaalde grens liggen. Die grens wordt bepaald door een stel paden in het platte vlak die zichzelf niet doorsnijden en geen begin- en geen eindpunt hebben (zo'n pad gaat rond of het loopt naar oneindig). Het gebied dat als grens een cirkel heeft, heet een cirkelschijf. Een gebied dat in een cirkelschijf past, heet begrensd.

De lengte van de rand van het gebied wordt de omtrek van het gebied genoemd.

Het gebied binnen een rechthoek is begrensd.

Het gebied tussen de grafieken van #y=0# en #y=10# (dus de verzameling #\{\rv{x,y}\mid 0\le y\le10\}#) is niet begrensd, oftewel onbegrensd.

We leggen de oppervlakte van een aantal speciale gebieden vast door een aantal basiseigenschappen.

Oppervlakteregels

De oppervlakte van een rechthoek met zijden #a# en #b# is #a\cdot b#.
Als #A# een gebied is dat uit #B# verkregen kan worden door verschuiving, draaiing en spiegeling in het vlak, dan hebben #A# en #B# dezelfde oppervlakte.
Als twee gebieden elkaar alleen op de rand overlappen, dan is de oppervlakte van hun vereniging gelijk aan de som van de oppervlakten van de twee gebieden.
Als een gebied #A# in een gebied #B# ligt, dan is de oppervlakte van #A# kleiner dan of gelijk aan de oppervlakte van #B#.

De lengte-maal-hoogte wet voor een parallellogram #P# luidat dat het oppervlak van #P# gelijk is aan het product van de lengte #b# van de basis van #P# en de hoogte #h# van #P#. Zie onderstaande figuur.

Hoe volgt dit uit de Oppervlakteregels?

Dit kan als volgt worden afgeleid:

De oppervlakte van #P# is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de driehoek met hoekpunten #A#, #B# en #C# en het trapezium met hoekpunten #B#, #D#, #E#, #C#.
De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten #A#, #B# en #C# is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten #D#, #E# en het snijpunt #G# van de lijn door de basis #b# met de lijn door #E# parallel aan de hoogtelijn die #B# en #C# verbindt.
De oppervlakte van #P# is gelijk aan de som van de oppervlakte van het trapezium met hoekpunten #B#, #D#, #E#, #C# en de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten #D#, #E#, #G#. Dus de oppervlakte van #P# is gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek met hoekpunten #B#, #G#, #E#, #C#.
De oppervlakte van de rechthoek met hoekpunten #B#, #G#, #E#, #C# is gelijk aan #b\cdot h#.

Nieuw voorbeeld