2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Coördinaten in 2 dimensies
Lineaire combinaties in 2 dimensies
Door scalaire vermenigvuldiging en optelling te combineren, krijgen we lineaire combinaties:
Als #\vec{v}# en #\vec{w}# vectoren van het platte vlak zijn en #a# en #b# reële getallen, dan heet
\[
a\cdot \vec{v}+b\cdot \vec{w}
\]
een lineaire combinatie van de vectoren #\vec{v}#, #\vec{w}#. Met de term lineaire combinatie geven we een naam aan vectoren die we kunnen bouwen uit andere vectoren met behulp van de operaties optelling en scalaire vermenigvuldiging.
In plaats van #(-1)\cdot\vec{v}# schrijven we vaak #-\vec{v}#. De vector #-\vec{v}# heet de tegengestelde van #\vec{v}#. Hiermee kunnen we aftrekking van vectoren definiëren: #\vec{v}-\vec{w} = \vec{v}+\left(-\vec{w}\right)#.
Rekenen met coördinaten valt reuze mee. Na verloop van tijd zul je merken dat je bij berekeningen vaak enkele stappen overslaat. Pas wel op dat we vectoren niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (maar zie het uitproduct later).
De rekenregels voor scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren hebben veel gemeen met de bewerkingen voor getallen.
Rekenregels voor vectorbewerkingen
Voor getallen #a#, #b# en vectoren #\vec{u}#, #\vec{v}# en #\vec{w}# gelden de volgende wetten:
| commutativiteit | #\vec{v}+\vec{w} = \vec{w}+\vec{v}# |
| associativiteit | #\vec{u}+\left(\vec{v}+\vec{w}\right) = \left(\vec{u}+\vec{v}\right)+\vec{w}# |
| associativiteit | #a\cdot \left(b\cdot \vec{u}\right) =\left(a\cdot b\right)\cdot \vec{u}# |
| distributiviteit | #a\cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\right) = a\cdot \vec{v}+a\cdot \vec{w}# |
| distributiviteit | #\left(a+b\right) \cdot \vec{v} = a\cdot \vec{v}+b\cdot \vec{v}# |
| vector nul | #\vec{0} + \vec{v}= \vec{v}# |
| scalar nul | #{0}\cdot \vec{v}= \vec{0}# |
| scalar één | #{1}\cdot \vec{v}= \vec{v}# |
Als gevolg van de associativiteit kunnen we haakjes weglaten in een rij optellingen of scalaire vermenigvuldigingen.
Immers,
\[\begin{array}{crlrl}3\vec{v}+2\vec{w}+8\vec{v}+9\vec{w} &=&3\vec{v}+8\vec{v} +2\vec{w}+9\vec{w}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{commutativiteit}}\\ &=& (3+8)\vec{v} + (2+9)\vec{w}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{distributiviteit}}\\ &=&11\vec{v} + 11\vec{w}&&\tiny.\end{array}\]Hier hebben we zo weinig mogelijk haken geplaatst; dat is vanwege associativiteit in orde. Met plaatsen van haakjes zou de berekening bijvoorbeeld als volgt kunnen starten: \[ \begin{array}{rcl}(3\vec{v}+(2\vec{w}+8\vec{v}))+9\vec{w} &=& (3\vec{v}+(8\vec{v}+2\vec{w}))+9\vec{w}\\ &=&((3\vec{v}+8\vec{v})+2\vec{w})+9\vec{w} \\ &=& \ldots \end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
