De voorstelling #\vec{x}+\lambda\cdot\vec{r}#,  waarbij #\lambda# de reële getallen doorloopt, is niet uniek: elk punt van de lijn kan steunpunt zijn.

Als we de lijn met #l# aangeven dan ligt het steunpunt #\vec{x}# op #l#: het hoort bij de keuze #\lambda=0#. Dat is in het algemeen niet het geval voor de richtingsvector #\vec{r}#. Als #l# bijvoorbeeld beschreven wordt door de parametervoorstelling #\rv{1,1}+\lambda\cdot \rv{0,1}#, dan ligt de richtingsvector #\rv{0,1}# niet op de lijn.

De parameter #\lambda# wijst voor elk reëel getal een punt op de lijn aan. Andersom hoort bij elk punt op de lijn een unieke waarde van #\lambda#. Zie de stelling hieronder. 

Als er meerdere lijnen tegelijk aan bod komen, dan gebruiken we verschillende parameters. Naast #\lambda# zijn #\mu# (mu) en #\nu# (nu) gebruikelijk.

Bewijs:

1. Voor #\lambda=0# krijgen we het punt #\vec{x}# van #l#. Dit is het steunpunt; dat behoort dus tot de lijn #l#.

2. Stel dat, bij vaste keuze van het punt #\vec{x}# en de richtingsvector #\vec{r}#, de parameterwaarden #\lambda=\lambda_1# en #\lambda = \lambda_2# hetzelfde punt zouden opleveren. Dan zou gelden: 

\[\vec{x}+\lambda_1\cdot\vec{r}=\vec{x}+\lambda_2\cdot\vec{r}\tiny.\]

Dit herleiden we als volgt, waarbij #\vec{v} = \rv{v_1,v_2}# en #\vec{r}=\rv{r_1,r_2}#.

\[\begin{array}{rclcl}\lambda_1\cdot \vec{r}&=&\lambda_2\cdot\vec{r}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden }\vec{x}\text{ afgetrokken}}\\  \lambda_1\cdot\vec{r}-\lambda_2\cdot\vec{r}&=&\vec{0}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden }\lambda_2\cdot\vec{r}\text{ afgetrokken}}\\  \rv{(\lambda_1-\lambda_2)r_1,(\lambda_1-\lambda_2)r_2}&=&\vec{0}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ vectoroptelling}}\\ \lambda_1-\lambda_2&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\rv{r_1,r_2}\text{ is ongelijk }\vec{0}}\\ \lambda_1&=&\lambda_2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{links en rechts }\lambda_2\text{ opgeteld }} \end{array}\]

3. Twee verschillende punten op #l# kunnen geschreven worden als #\vec{x}+\lambda_1\cdot\vec{r}# en #\vec{x}+\lambda_2\cdot\vec{r}#, waarbij #\lambda_1# en #\lambda_2# twee verschillende getallen zijn. Hun verschil is #\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\cdot\vec{r}#, een scalair veelvoud van de richtingsvector.

4. Laat #m# een lijn zijn met dezelfde richtingsvector, namelijk #\vec{r}#, als #l#. Als #\vec{w}# een punt is van #m#, dan heeft #m# parametervoorstelling #\vec{w}+\mu\cdot \vec{r}# en voldoet een snijpunt van #l# en #m# aan \[\vec{v}+\lambda\cdot \vec{r}= \vec{w}+\mu\cdot \vec{r}\tiny,\] wat neer komt op de twee lineaire vergelijkingen met de twee onbekenden #\lambda# en #\mu#: \[\lineqs{v_1+r_1\lambda &=& w_1+r_1\mu\\ v_2+ r_2\lambda & =& w_2+r_2\mu}\]waar we #\vec{r} =\rv{r_1,r_2}# en #\vec{w}= \rv{w_1,w_2}# geschreven hebben. Trekken we #r_2# maal de eerste vergelijking van #r_1# maal de tweede vergelijking af, dan zien we dat moet gelden: \[v_1r_2-v_2r_1=w_1r_2-w_2r_1\tiny.\]Als dit het geval is, dan vallen de lijnen #l# en #m# samen. Als dit niet het geval is, dan is er geen snijpunt, en zijn #l# en #m# dus evenwijdig.