2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Hoeken
Gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken
We hebben al één type bijzondere driehoeken leren kennen: de rechthoekige driehoek. Hier zijn twee andere typen.
Een driehoek heet gelijkbenig als ten minste twee van haar zijden gelijke lengte hebben.
Een driehoek heet gelijkzijdig als alle drie zijden gelijke lengte hebben.
Deze typen driehoeken zijn ook aan hun hoeken te herkennen:
Laat #ABC# een driehoek zijn. De zijden #AC# en #BC# hebben dan en slechts dan gelijke lengte als de hoeken #A# en #B# even groot zijn.
Bewijs: Geef met #M# het midden van #AB# aan.
Stel #|AC|=|BC|#. De driehoeken #AMC# en #BMC# zijn dan congruent, want de paren overeenkomstige zijden hebben elk gelijke lengte (voor #AM# en #BM# vanwege de keuze van #M#, voor #MC# en #MC# omdat het hetzelfde lijnstuk is, en voor #AC# en #BC# vanwege de aanname). Volgens de Congruentiecriteria is elk paar overeenkomstige hoeken dan ook gelijk. In het bijzonder is de hoek #A# van #AMC# gelijk aan de hoek #B# van #BMC#. Maar deze hoeken vallen samen met de hoek #A# van #ABC# en de hoek #B# van #ABC#. Daarmee is afgeleid dat de hoeken #A# en #B# van #ABC# even groot zijn.
Andersom: Stel de hoeken #A# en #B# zijn gelijk. Dan zijn van de driehoeken #AMC# en #BMC# de overeenkomstige hoeken #A# en #B# ook gelijk. Verder heeft de samenvallende zijde #MC# van elke driehoek vanzelfsprekend dezelfde lengte, en hebben de overeenkomstige zijden #AM# en #BM# dezelfde lengte (vanwege de keuze van #M#). Uit de Congruentiecriteria volgt weer dat #AMC# en #BMC# congruent zijn, en dus dat de overeenkomstige zijden #AC# en #BC# gelijke lengte hebben. Hiermee is het bewijs geleverd.
Het punt #C# ligt op gelijke afstand van #A# als van #B# en dus op de middelloodlijn. Dit betekent dat #CM# loodrecht staat op #AB#.
Hier is nog wat informatie over de hoeken van deze speciale driehoeken.
- Elk van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek is #60^\circ#.
- In een niet-ontaarde rechthoekige gelijkbenige driehoek zijn de twee hoeken die niet recht zijn elk #45^\circ#.
Bewijs: Laat #ABC# een driehoek zijn.
Als #ABC# gelijkzijdig is, dan hebben alle drie hoeken gelijke grootte, zeg #\alpha^\circ#. De som van alle drie is #180^\circ#, dus #\alpha# voldoet aan de vergelijking #3\alpha = 180#. De oplossing van deze lineaire vergelijking is #\alpha = 60#. Dit bewijst de eerste uitspraak.
Als #|AC|=|BC|#, dan zijn de hoeken #A# en #B# even groot, zeg #\alpha^\circ#. Als ze beide #90^\circ# zijn, dan heeft hoek #C# precies #180-2\cdot 90 = 0# graden, een tegenspraak met de aanname dat #ABC# niet ontaard is. Dus alleen #C# kan een rechte hoek zijn. Stel nu bovendien dat #C# inderdaad recht is. Dan volgt de tweede uitspraak uit het feit dat de som van de hoeken gelijk is aan #180^\circ#; dat wil zeggen: #2\alpha+90 = 180#. Oplossing van deze lineaire vergelijking met onbekende #\alpha# geeft #\alpha = 45#. Dit bewijst de tweede uitspraak.
Gelijkvormigheid en congruentie worden makkelijker te herkennen voor gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken:
- Twee gelijkbenige driehoeken zijn dan en slechts dan gelijkvormig als de hoeken tussen de gelijke zijden even groot zijn.
- Twee gelijkzijdige driehoeken zijn dan en slechts dan congruent als de lengte van een zijde van de ene driehoek gelijk is aan de lengte van een zijde van de ander.
Bewijs: Laat #ABC# en #DEF# twee gelijkbenige driehoeken zijn, met #|AC|=|BC|# en #|DF|=|EF|#.
Volgens Gelijkvormigheidscriteria zijn twee driehoeken #ABC# en #DEF# dan en slechts dan gelijkvormig als ten minste twee van de drie paren overeenkomstige hoeken even groot zijn. Maar omdat de driehoeken gelijkbenig zijn, is dit al waar als ten minste één paar van de overeenkomstige driehoeken even groot is. Immers, als de hoeken #C# en #F# beide #\gamma^\circ# groot zijn, dan zijn de vier andere hoeken #\frac{1}{2}\left(180-2\gamma\right)# graden groot, en als bijvoorbeeld de hoeken #A# en #D# beide #\alpha^\circ# groot zijn, dan hebben #C# en #F# grootte #180-2\cdot \alpha# graden. Hieruit volgt de eerste uitspraak.
Stel nu dat #ABC# en #DEF# gelijkzijdig zijn. Dan zijn alle paren van overeenkomstige hoeken al gelijk, namelijk #60^\circ#. Dankzij de Congruentiecriteria zijn ze dus congruent als ten minste één paar overeenkomstige zijden gelijke lengte heeft. Dit bewijst de tweede uitspraak.
Immers, de som van de drie hoeken van #ABC# is #180^\circ#. Dus, als #\gamma^\circ# de grootte van de hoek #C# aangeeft, dan geldt \[2\cdot 18+\gamma=180\]omdat de hoeken #A# en #B# even groot zijn. Hieruit volgt #\gamma = 180 -2\cdot 18 = 144#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
