2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Inproduct en uitproduct
Inproduct en lijn in 2 dimensies
Volgens Loodrechte vectoren staan de vectoren en loodrecht op elkaar. Dit feit kunnen we in termen van het inproduct formuleren.
Loodrecht staan in termen van inproduct
Twee vectoren en die ongelijk aan de nulvector zijn, staan dan en slechts dan loodrecht op elkaar als .
Laat en getallen zijn, zodat .
dan: Stel dat loodrecht staat op . Dan volgt uit de theorie van Normaalvectoren dat een scalair veelvoud van is. Dus voor een zeker getal . Dit heeft tot gevolg dat Dit bewijst dat als en onderling loodrecht zijn, geldt.
als: Stel dat . Als we schrijven dan, kunnen we het inproduct uitschrijven: . Omdat ongelijk is aan de nulvector, is tenminste één van en ongelijk aan nul. We nemen aan . Het bewijs voor verschilt nauwelijks van wat volgt. Deling door geeft . Bijgevolg is Dit laat zien dat een scalair veelvoud is van de vector , die loodrecht staat op . Maar dan staat zelf ook loodrecht op .
In Loodrechte vectoren hebben we al gezien dat de lineaire vergelijking een lijn voorstelt met normaalvector . Door gebruik te maken van bovenstaande formulering van loodrechtheid, kunnen we de vergelijking als een inproduct schrijven: . Uitgaande van een parametervoorstelling krijgen we hierdoor het volgende resultaat.
Vergelijking van een lijn in termen van inproduct
De vergelijking van een lijn met steunpunt en richtingsvector kan geschreven worden als waarbij de normaalvector van de lijn is.
De gegeven lijn heeft parametervoorstelling . Volgens Loodrechte vectoren heeft de lijn een vergelijking van de vorm , waarbij een normaalvector van de lijn is; we kiezen voor deze normaalvector . We moeten nog bepalen. Omdat op de lijn moet liggen, geldt , zodat . De vergelijking heeft dus de vorm .
Vanwege rechts-lineariteit uit de regels voor inproduct is de vergelijking van de lijn nog te herschrijven als De interpretatie van deze formule is goed te geven aan de hand van bovenstaande regel: de lijn bestaat uit alle punten waarvoor de richtingsvector van de lijn door en loodrecht staat op de richtingsvector .
Dit maakt het mogelijk de loodlijn vanuit een punt op een lijn direct in parametervorm te beschrijven.
De lijn door het punt die loodrecht staat op de lijn met vergelijking , heeft vergelijking
Om dit in te zien passen we de vorige stelling toe op de lijn met steunpunt en richtingsvector . Het resultaat is . Uitschrijven van de inproducten geeft de formule van de stelling.
Volgens de theorie heeft de lijn door het punt die loodrecht staat op de lijn met vergelijking , de vergelijking Passen we dit toe met , , en (merk op dat niet bekend hoeft te zijn), dan vinden we de vergelijking
Vereenvoudiging van deze vergelijking levert het antwoord .
In de figuur hieronder zijn het punt en de twee lijnen getekend.

omptest.org als je een OMPT examen moet maken.