Kwadratische vergelijkingen met één onbekende: Variaties
Wortelvergelijkingen
Een vergelijking met een lineaire term in de onbekende #x# en één term als #\sqrt{ax^2+bx+c}# voor zekere getallen #a# en #b# is op te lossen door
- eerst de term #\sqrt{ax^2+bx+c}# links van het gelijkteken te isoleren; de vorm van de vergelijking is dan #\sqrt{ax^2+bx+c} = px+q#;
- vervolgens linker en rechter lid te kwadrateren; de vorm van de vergelijking is dan #ax^2+bx+c=(px+q)^2#;
- daarna de kwadratische vergelijking op te lossen;
- tenslotte na te gaan of #a\cdot e^2 + b\cdot e + c\ge0# en #p\cdot e + q\ge0# voor elke gevonden oplossing #x=e# van de kwadratische vergelijking; zo ja, dan is #x=e# oplossing van de oorspronkelijke vergelijking; zo nee, dan moeten we #x=e# af laten vallen.
De kwadratische vergelijking heeft hooguit twee oplossingen. Deze oplossingen zijn niet noodzakelijk oplossingen van de oorspronkelijke vergelijkingen. Een oplossing #x=e# van de kwadratische vergelijking is immers pas een oplossing als #a\cdot e^2 + b\cdot e + c\ge0# en #p\cdot e + q\ge0#.
De verklaring dat we in de laatste stap nog ongelijkheden moeten nagaan, is dat de vergelijking die ontstaat na het kwadrateren in de tweede stap, niet langer equivalent is met de oorspronkelijke vergelijking. Immers, het is denkbaar dat #x=e# voldoet aan de vergelijking #ax^2+bx+c=(px+q)^2# en #p\cdot e+q\lt 0#, maar dan is #x=e# geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. Bijvoorbeeld, #x=3# is geen oplossing van\[ \sqrt{x^2+16}=2x-11\]maar wel van \[ x^2+16=(2x-11)^2\]
Wel is elke oplossing van de vergelijking een oplossing van de vergelijking die ontstaat door beide leden te kwadrateren.
Om dit in te zien, herleiden we de vergelijking als volgt tot een kwadratische vergelijking.
\[ \begin{array}{rclcl}
\sqrt{53-x^2}&=& -(x+9) &\phantom{xxxx}&\color{blue}{\text{wortel geïsoleerd}}\\
53-x^2 &=& (x+9)^2 &\phantom{xxxx}&\color{blue}{\text{gekwadrateerd}}\\
53-x^2 &=& x^2+18\cdot x+81 &\phantom{xxxx}&\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\
-2\cdot x^2-18\cdot x-28 &=& 0 &\phantom{xxxx}&\color{blue}{\text{alle termen naar links}}\\
x^2+9\cdot x+14 &=& 0 &\phantom{xxxx}&\color{blue}{\text{gedeeld door }-2}\\
\end{array}\]
De oplossing van deze kwadratische vergelijking is #x=-7\lor x=-2#.
Om een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking te zijn, moet #x=-7# nog voldoen aan #53-x^2\ge0# en #-(x+9)\ge0#. Dit is niet het geval. Dezelfde voorwaarden gelden voor #x=-2#. Deze zijn niet vervuld.
Als oplossing van de oorspronkelijke vergelijking vinden we dus: #geen#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
