Substitutie

Kwadratische vergelijkingen met één onbekende: Variaties

Substitutie

Bij Lineaire vergelijkingen met één onbekende zagen we dat bepaalde vergelijkingen door substitutie van de onbekende terug te brengen zijn tot lineaire vergelijkingen. Dit geldt natuurlijk ook voor kwadratische vergelijkingen. We geven hiervan enkele voorbeelden.

Los $x$ op in de vergelijking $3 x^{ 4}-29x^{2}+56 =0$ .

Geef je antwoord in de vorm $x=a\vee x=b\vee\ldots$ als er twee of meer oplossingen zijn, $x=a$ als er één oplossing is, of $geen$ als er geen oplossing is.

$x=\frac{2}{3}\sqrt{6} \lor x=\sqrt{7} \lor x=-\frac{2}{3}\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{7}$

Met de substitutie $y=x^{2}$ vinden we $3 y^2-29 y+56=0$ . We lossen eerst deze vergelijking in $y$ op met de abc-formule:

$\begin{array}{rclcl}3y^2-29 y+56&=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{na substitutie } y=x^{2}}\\y&=&\frac{+29\pm\sqrt{169}}{2\cdot 3}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{abc-formule}}\\ y={{8}\over{3}} &\lor & y=7 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$

De oplossingen voor $x$ volgen uit de relatie $x=\sqrt{y}\lor x=-\sqrt{y}$ , waarbij we er rekening mee moeten houden dat $\sqrt{y}$ alleen gedefinieerd is voor $y\ge0$ (zie Hogeremachtswortels). De oplossing voor $x$ luidt dan

$x=\sqrt{{{8}\over{3}}} \lor x=\sqrt{7} \lor x=-\sqrt{{{8}\over{3}}} \lor x=-\sqrt{7}\tiny.$ Het antwoord is dus, in standaardvorm voor wortels,

$x=\frac{2}{3}\sqrt{6} \lor x=\sqrt{7} \lor x=-\frac{2}{3}\sqrt{6} \lor x=-\sqrt{7}\tiny.$

Nieuw voorbeeld

Kwadratische vergelijkingen met één onbekende: Variaties

Substitutie

Waarmee kan de AI Bot je helpen?