Kwadratische vergelijkingen met één onbekende: Kwadratische vergelijkingen
Algemene oplossing van een kwadratische vergelijking
Stel #a#, #b# en #c# zijn reële getallen met #a\neq 0#.
De discriminant van de kwadratische vergelijking #ax^2+bx+c = 0# met onbekende #x# is het getal #b^2-4\cdot a \cdot c#.
Het teken van de discriminant is bepalend voor het aantal oplossingen van de vergelijking.
Als we de vergelijking door #a# delen, zodat we de equivalente vergelijking #x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0# krijgen, dan is de discriminant gelijk aan #\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\cdot1\cdot\frac{c}{a}=\frac{1}{a^2}\left(b^2-4\cdot a\cdot c\right)#. Het teken van de discriminant verandert dus niet.
Net als bij het lineaire geval verstaan we onder kwadratische vergelijkingen ook vergelijkingen die na het uitwerken van haakjes en het overbrengen van alle termen naar het linker lid kwadratisch zijn.
De formule hieronder, die de oplossingen direct geeft, heet de abc-formule. De discriminant speelt een essentiële rol bij het bepalen hoeveel oplossingen de vergelijking heeft.
De kwadratische vergelijking #ax^2+bx+c = 0# met onbekende #x# en discriminant #d=b^2-4ac# heeft:
- geen oplossingen als #d\lt 0#
- precies één oplossing als #d=0#, namelijk #x=-\dfrac{b}{2a}#
- twee oplossingen als #d\gt 0#, namelijk #x=\dfrac{-b - \sqrt{d}}{2a}# en #x=\dfrac{-b+ \sqrt{d}}{2a}#.
Door kwadraat af te splitsen kunnen we de vergelijking herschrijven tot #\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}=0#. Brengen we de constante term naar het rechter lid en delen we door #a#, dan vinden we \[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}\tiny.\] Als #b^2-4ac\lt 0#, dan is het rechter lid negatief, maar het linker lid niet, dus zijn er geen oplossingen.
Als #b^2-4ac= 0#, dan is het rechter lid, dus ook het linker lid, gelijk aan #0#, waaruit volgt dat #x=-\dfrac{b}{2a}# de enige oplossing is.
Als #b^2-4ac\gt 0#, dan kunnen we links en rechts worteltrekken; deze twee wortels zijn op een teken na aan elkaar gelijk: #x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}#. Er zijn dus twee oplossingen, namelijk #x=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}# en #x=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}#.
De twee oplossingen in het laatste geval worden vaak samen genomen door gebruik te maken van de notatie #\pm#; dus #x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}#.
Als #a=0#, dan wordt de vergelijking #bx+c=0#, dus een lineaire vergelijking die we ook op kunnen lossen. Dus elke vergelijking die de vorm #ax^2+bx+c=0# heeft, is op te lossen.
We lossen de vergelijking op met kwadraatafsplitsen:\[\begin{array}{rclcl}3\cdot x^2+6\cdot x+1 &=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\ 3(x+1)^2-2 &=&0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{kwadraat afgesplitst}}\\ (x+1)^2 &=&{{2}\over{3}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constanten naar rechts}}\\ (x+1) &=&\pm\sqrt{{{2}\over{3}}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{wortel getrokken}}\\ x&=&-1\pm\sqrt{{{2}\over{3}}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constante naar rechts}}\end{array}\]
Het antwoord is dus #x=-{{\sqrt{6}+3}\over{3}}\vee x={{\sqrt{6}-3}\over{3}}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
