Kwadratische vergelijkingen met één onbekende: Kwadratische vergelijkingen
Het begrip kwadratische vergelijking
Kwadratische vergelijking
Een kwadratische vergelijking met onbekende #x# is een vergelijking van de vorm #ax^2+bx+c = 0#.
Als #a=0#, dan hebben we te maken met een lineaire vergelijking, waarvan al eerder besproken is hoe je die moet oplossen.
Let op het subtiele verschil: in het lineaire geval noemden we de vergelijking #0\cdot x+3=0#, ofwel #3=0#, ook lineair. Hier noemen we de vergelijking #0x^2+2x+3=0#, ofwel #2x+3=0# niet kwadratisch.
Voor het geval je het begrip functie kent: de oplossingen van de vergelijking #ax^2+bx+c=0# zijn nulpunten van de kwadratische functie #ax^2+bx+c#.
Net als bij het lineaire geval verstaan we onder kwadratische vergelijkingen ook vergelijkingen die na het uitwerken van haakjes en het overbrengen van alle termen naar het linker lid kwadratisch zijn. Dus ook #2(x+1)^2=9x-4# en #3x^2=(x+1)\cdot(x-6)# noemen we kwadratische vergelijkingen.
Hieronder staan enkele nuttige regels voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. De beroemde abc-formule volgt in de theorie Algemene oplossing van een kwadratische vergelijking. We brengen in herinnering dat twee vergelijkingen equivalent heten als ze precies dezelfde oplossingen hebben.
Bekijk de kwadratische vergelijking #ax^2+bx+c = 0# met onbekende #x#.
- De vergelijking #ax^2+bx+c = 0# is equivalent met #x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0#.
- De oplossing van de vergelijking #x^2+c=0# is \[\begin{cases}x=\sqrt{-c}\lor x=-\sqrt{-c}&\text{als }c\lt0\\ x={0}&\text{als }c=0\\ geen&\text{als }c\gt0\end{cases}\]
- Als #x=p# een oplossing is van #ax^2+bx+c=0#, dan is ook #x=-p-\frac{b}{a}# een oplossing en geldt \[ax^2+bx+c = a(x-p)\cdot(x-q)\tiny,\]waarbij #q=-p-\frac{b}{a}#.
1. We kunnen #ax^2+bx+c # herschrijven tot #a\cdot \left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)#. Omdat #a\ne0#, volgt uit de Nuldelerstelling dat #x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0# dan en slechts dan als #ax^2+{b}x+{c}=0#. Dit bewijst de equivalentie.
2. De vergelijking #x^2+c=0# is equivalent met #x^2=-c#.
- Als #c\gt0#, dan is het rechter lid negatief en het linkerlid (een kwadraat) niet-negatief, zodat er geen oplossingen zijn.
- Als #c=0#, dan geeft de Nuldelerstelling dat de vergelijking #x^2=0# alléén de oplossing #x=0# heeft.
- Als tenslotte #c\lt0#, dan is er volgens de theorie Wortels van een geheel getal precies één niet-negatief reëel getal #p#, zodat #p^2 = -c#. Dit getal #p# wordt geschreven als #\sqrt{-c}# en heet de wortel van #-c#. Hieruit volgt dat er ook precies één niet-positief getal #q# is met #q^2=-c#, namelijk #q=-\sqrt{-c}#. De oplossing van #x^2=-c# is dus #x=\sqrt{-c}\lor x= -\sqrt{-c}#.
3. Als #x=p# een oplossing is van #ax^2+bx+c=0#, dan geldt per definitie #ap^2+bp+c=0#. Dit gebruiken we in de vorm #-ap^2-bp=c# om de volgende ontbinding af te leiden:\[ax^2+bx+c=a\left(x-p\right)\cdot \left(x-q\right)\]waarbij #q=-p-\frac{b}{a}#. Immers,\[\begin{array}{rcl}a\left(x-p\right)\cdot \left(x-q\right)&=&ax^2-apx-aqx+apq\\&&\phantom{xyzuvwxyzuvwxyz}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&ax^2-apx-a\left(-p-\frac{b}{a}\right)x+ap\left(-p-\frac{b}{a}\right)\\\\&&\phantom{xyzuvwxyzuvwxyz}\color{blue}{q=-p-\frac{b}{a}\text{ ingevuld}}\\&=&ax^2-apx+apx+bx-ap^2-bp\\&&\phantom{xyzuvwxyzuvwxyz}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&ax^2+bx-ap^2-bp\\&&\phantom{xyzuvwxyzuvwxyz}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\&=&ax^2+bx+c\\&&\phantom{xyzuvwxyzuvwxyz}\color{blue}{-ap^2-bp=c\text{ gebruikt}}\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}z^2+45&=&76\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{de gegeven vergelijking}}\\ z^2&=&31\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante termen naar rechts}}\\ z=-\sqrt{31} & \lor &z= \sqrt{31}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{wegens de theorie}}\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
