Stelsels lineaire vergelijkingen: Twee lineaire vergelijkingen
Stelsels vergelijkingen oplossen door eliminatie
We hebben besproken hoe je twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden kunt oplossen door een onbekende te elimineren. De methode die we hier behandelen is meer geschikt voor grote stelsels.
Het doel hierbij is de eerste vergelijking de vorm #x=a# te geven en de tweede vergelijking de vorm #y=b#.
De strategie is om de vergelijkingen te bewerken; denk hierbij aan vermenigvuldiging van alle termen uit dezelfde vergelijking met een getal en aan het aftrekken van één vergelijking van een andere.
Eliminatiemethode voor lineaire vergelijkingen
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# kan als volgt opgelost worden.
- Zorg ervoor dat #x# in de eerste vergelijking voorkomt: als dit niet het geval is, dan verwisselen we de twee vergelijkingen van plaats, zodat #x# wel weer in de eerste vergelijking voorkomt.
- Vervang de tweede vergelijking door het verschil van deze vergelijking met een geschikt gekozen veelvoud van de eerste vergelijking, zodat #x# niet meer voorkomt in de tweede vergelijking.
- Vervang de eerste vergelijking door het verschil van deze vergelijking met een geschikt veelvoud van de tweede vergelijking, zodat #y# niet meer in de eerste vergelijking voorkomt.
- De eerste vergelijking is nu een lineaire vergelijking met #x# als enige onbekende en de tweede is een lineaire vergelijking met #y# als enige onbekende. Deze vergelijkingen zijn op te lossen met de theorie van Lineaire vergelijkingen met één onbekende.
De redenering dat deze methode inderdaad de oplossing van het oorspronkelijk stelsel oplevert, kan op dezelfde manier met het begrip equivalentie gegeven worden als bij bespreking van de eliminatiemethode.
Van het stelsel wordt aangenomen dat #x# en #y# echt voorkomen in het stelsel. Als alleen #x# voorkomt, dan hebben we te maken met een stel vergelijkingen met één onbekende, dat al eerder, in de voorbeelden van de aangehaalde theorie, besproken is. Voor elke oplossing #x=a# van dat stelsel, en elk reëel getal #b# is #x-a\land y=b# een oplossing van het stelsel (en dit zijn alle oplossingen).
Als alleen #y# voorkomt, dan gelden dezelfde opmerkingen met #x# en #y# verwisseld.
Als #x# en #y# beide niet voorkomen, dan is elk paar #\rv{x,y}# een oplossing als alle vergelijkingen waar zijn (denk aan #0=0#) en geen enkel paar een oplossing als ten minste één van de vergelijkingen een tegenspraak vormt (denk aan #0=1#).
Vegen
Deze eliminatiemethode staat bekend als vegen. Immers, je gebruikt steeds één vergelijking om een ander schoner te vegen.
Het kan zo zijn dat na de tweede stap de tweede vergelijking een waarheid (als #0=0#) of tegenspraak (als #0=1#) wordt doordat niet alleen #x# maar ook #y# verdwijnt. In dat geval is de oplossing een lijn gegeven door de eerste vergelijking.
Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# op.
\[\lineqs{6x-y -14 &=& 0\cr 2x+3y-18 &=& 0\cr}\]
1. De onbekende #x# staat al in de bovenste vergelijking. We hoeven de vergelijkingen dus niet te verwisselen.
2. We trekken #\frac{1}{3}# maal de eerste vergelijking van de tweede af. Hierdoor verdwijnt de term met #x# en ontstaat de vergelijking #\frac{10}{3}y = \frac{40}{3}#. We houden vast aan het tweetal vergelijkingen (maar werken de noemer tussendoor weg in de tweede vergelijking door vermenigvuldiging met #3#):
\[\lineqs{6x-y -14 &=& 0\cr 10y-40 &=& 0\cr}\]
3. We tellen #\frac{1}{10}# maal de tweede vergelijking bij de eerste op (zodat de term met #y# verdwijnt) en vinden het stelsel
\[\lineqs{6x-18 &=& 0\cr 10y -40&=& 0\cr}\]
4. We delen de eerste vergelijking door #6# en de tweede door #10# om het stelsel
\[\lineqs{x-3&=&0\cr y-4 &=& 0\cr}\]
te vinden. Hiermee is het stelsel opgelost: #x=3\land y= 4#.
Er zijn vele manieren om tot deze oplossing te komen. We beschrijven er één van.
- Om ervoor te zorgen dat de onbekende #x# in de eerste vergelijking voorkomt, verwisselen we de twee vergelijkingen als dat bij het oorspronkelijke stel niet het geval was: # -7\cdot x+8\cdot y-2=0\land x-y+2=0 #.
- Vervolgens werken we de term met #x# weg uit de tweede vergelijking door de eerste vergelijking met #\frac{1}{-7}# te vermenigvuldigen en van de tweede af te trekken: # -7\cdot x+8\cdot y-2=0\land {{y}\over{7}}=0 #.
- Door (links en rechts in) de tweede vergelijking door #{{1}\over{7}}# te delen vinden we #y=-12#. We hebben nu het stel # -7\cdot x+8\cdot y-2=0\land y=-12 #.
- Vullen we de oplossing van #y# (de tweede vergelijking) in in de eerste vergelijking (of anders gezegd: trekken we #8# maal de tweede vergelijking van de eerste af), dan vinden we het stelsel: # -7\cdot x-98=0\land y=-12 #.
- De eerste vergelijking kan opgelost worden als besproken in Oplossen door herleiding van een lineaire vergelijking met één onbekende. Het resultaat is #x= -14\land y = -12#.
Er zijn vele varianten. We kunnen bijvoorbeeld eerst de coëfficiënt van #x# in de eerste vergelijking gelijk aan 1 maken door vermenigvuldiging met #\frac{1}{6}#. Als je veel met de varianten experimenteert, zul je zien dat het verschil tussen deze veegmethode en de substitutiemethode niet zo groot is als op het eerste gezicht lijkt.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
