Stelsels lineaire vergelijkingen: Twee lineaire vergelijkingen
Stelsels vergelijkingen oplossen door subsitutie
De meest voor de hand liggende methode van oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden berust op substitutie.
Substiutiemethode voor lineaire vergelijkingen
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met onbekenden #x# en #y# kan als volgt opgelost worden.
1. Los #y# op met #x# als parameter uit een van de twee vergelijkingen. Dat geeft een uitdrukking van #y# in termen van #x#.
2. Substitueer die uitdrukking overal waar #y# staat in de andere vergelijking. Dan ontstaat er een lineaire vergelijking met als enige onbekende #x#.
3. Los die op met behulp van het hoofdstuk Lineaire vergelijkingen met één onbekende. Hierdoor is #x# bepaald.
4. Bepaal tenslotte #y# door de gevonden waarde van #x# in de vergelijking die de vorm #y=\ldots# heeft te substitueren.
De methode berust op het feit dat er na elke stap weer een stelsel vergelijkingen ontstaat dat equivalent is met het stelsel uit de vorige stap. We hebben het begrip equivalentie ingevoerd voor vergelijkingen en niet voor stelsels vergelijkingen, maar de definitie is hetzelfde: twee stelsels heten equivalent als ze de dezelfde oplossing hebben.
Omdat equivalentie voor vergelijkingen betekent dat ze dezelfde oplossing hebben, is het antwoord ook de oplossing van alle vorige stelsels, in het bijzonder van het oorspronkelijk stelsel.
Drie typen lineaire vergelijkingen met twee onbekenden
In de meest voorkomende gevallen heeft een stelsel van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden precies één oplossing is. In dat geval heet het stelsel regulier.
Er is soms meer dan één oplossing: de twee vergelijkingen kunnen afhankelijk zijn. Dat betekent dat ze precies dezelfde lijn als oplossing hebben. In dat geval is de ene vergelijking een veelvoud van de andere. Dit geval doet zich voor na stap 2: als we #y# uit de vergelijking elimineren, dan is het mogelijk dat ook #x# verdwijnt. Als de vergelijking dan \(0=0\) wordt, legt ze geen beperking op aan de oplossingen en kunnen we deze vergelijking wegnemen. Er blijft dan één vergelijking met twee onbekenden over, waarvan de oplossingen een lijn vormen.
Er is soms géén oplossing: de vergelijkingen kunnen strijdig zijn. Dat betekent dat geen enkele oplossing van de één ook een oplossing van de ander is. Dit geval doet zich voor na stap 2: als we #y# uit de vergelijking elimineren, dan is het mogelijk dat ook #x# verdwijnt (zoals in het vorige geval). Maar dit keer krijgt de vergelijking de vorm #0=c# voor een getal \(c\) ongelijk aan nul. Aan deze vergelijking is nooit voldaan: dit is een tegenspraak. Het antwoord is dus dat geen enkel punt \(\rv{x,y}\) aan het stelsel voldoet.
Er doen zich twee uitzonderingsgevallen (afhankelijkheid en tegenstrijdigheid) voor, die corresponderen met het samenvallen dan wel evenwijdig zijn van de lijnen vertegenwoordigd door de twee vergelijkingen. Meer hierover komt in de opgaven en in de theorie Vergelijkingen en lijnen naar voren.
Er zijn dus drie soorten oplossingen van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen mogelijk:
- een enkel punt #\rv{x,y}# (regulier)
- een rechte lijn (afhankelijk)
- geen (strijdig)
\[ \lineqs{ 7\cdot x+5\cdot y+3 &=& 0 \cr 3\cdot x+2\cdot y+4 &=& 0 \cr}\]
We gebruiken de substitutiemethode om tot deze oplossing te komen.
\[ \begin{array}{rcl} 7\cdot x+5\cdot y+3=0 & \land &3\cdot x+2\cdot y+4=0 \\&&\phantom{xxx} \color{blue}{\text{de oorspronkelijke vergelijkingen}} \\
x=-{{5\cdot y}\over{7}}-{{3}\over{7}}& \land &3\cdot x+2\cdot y+4= 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{x \text{ uitgedrukt in }y\text{ in de eerste vergelijking}}\\
x=-{{5\cdot y}\over{7}}-{{3}\over{7}} & \land & 2\cdot y+3\cdot \left(-{{5\cdot y}\over{7}}-{{3}\over{7}}\right)+4=0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{x=-{{5\cdot y}\over{7}}-{{3}\over{7}}\text{ ingevuld in de tweede vergelijking}}\\
&& \phantom{xxx}\color{blue}{\text{om te komen tot een lineaire vergelijking in }y}\\
x = -{{5\cdot y}\over{7}}-{{3}\over{7}} &\land & y = 19\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de tweede vergelijking opgelost}}\\
x = -{{5\cdot (19)}\over{7}}-{{3}\over{7}} &\land & y = 19\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{y=19\text{ ingevuld in de eerste vergelijking}}\\
x = -14 &\land & y = 19\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{oplossing vereenvoudigd}}\\ \end{array}
\]Het antwoord is dus #x= -14\land y = 19#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
