Stelsels lineaire vergelijkingen: Eenvoudige stelsels lineaire vergelijkingen
Parameters
Eerder hebben we gezien dat variabelen verschillende rollen kunnen spelen, zoals constante en onbekende. De rol van parameter, die we hieronder invoeren, komt dicht bij die van constante.
In Lineaire vergelijkingen met één onbekende hebben we gezien dat de vergelijking #ax+b =0# oplossing #x=-\frac{b}{a}# heeft, tenminste, als #a\ne0#. Hierbij stellen #a# en #b# reële getallen voor, waarvoor vaak concrete waarden ingevuld worden. Maar we kunnen deze vergelijking én de oplossing zelfs opschrijven met #a# en #b# in deze algemene vorm. Als we dat doen, dan heten #a# en #b# parameters.
Meer algemeen zijn parameters variabelen die in wiskundige uitdrukkingen voorkomen, maar geen rol spelen als onbekenden in een vergelijking. Ze staan meer voor geschikte getallen die nog niet nader bepaald zijn.
Over de uitspraak van het woord parameter: de klemtoon wordt wel op elke lettergreep gelegd. In Nederland is parámeter de meest geaccepteerde uitspraak en in België is párameter de meest gebruikelijke uitspraak.
Het lineaire verband tussen graden Celsius #C# en Fahrenheit #F# uit de inleiding op Lineaire vergelijkingen met één onbekende is een voorbeeld waarin elk van beide variabelen als onbekende gezien kan worden, door de ander als parameter op te vatten.
Het is daarbij wel belangrijk dat we #x# als onbekende aanmerken. We hadden ook #a# als onbekende kunnen zien, in welk geval de oplossing #a=-\frac{b}{x}# geweest zou zijn, tenminste, als #x\ne0#.
Op deze manier kunnen we ook een vergelijking met twee onbekenden oplossen.
De lineaire vergelijking #ax+by+c=0#, met onbekenden #x# en #y#, waarbij #a#, #b# en #c# getallen of parameters zijn, kunnen we op de volgende twee manieren oplossen:
- Door #y# tijdelijk als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende #x# op, dan zien we dat #x=-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a}#. Dit kan alléén als #a\ne0#; de oplossingen zijn dus alle paren #\rv{x,y}# die de vorm #\rv{-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a},y}# hebben. Hier wordt de rol van #y# als parameter duidelijk: voor elke waarde van #y# is er precies één oplossing.
- Door #x# tijdelijk als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende #y# op, dan zien we dat #y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}#. Dit kan alléén als #b\ne0#; de oplossingen zijn dus alle paren #\rv{x,y}# die de vorm #\rv{x,-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}# hebben. Hier wordt de rol van #x# als parameter duidelijk: voor elke waarde van #x# is er precies één oplossing.
Als #a\ne0# en #b\ne0#, dan is er overlap tussen het eerste en tweede geval. Elk van de twee geeft een manier om de oplossingen te beschrijven. De eerste doet dat door #x# als functie van #y# te zien, de tweede door #y# als functie van #x# te zien.
Exclusief voor het eerste geval is de verticale lijn die bij #b=0# optreedt, en exclusief voor het tweede geval is de horizontale lijn die bij #a=0# optreedt.
We hebben nu mogelijke oplossingen aangegeven als #a\ne0# of #b\ne0#. De uitkomst is steeds een lijn in het platte vlak. Als #a=0# en #b=0#, dan luidt de vergelijking #c=0#. Er blijven dus twee gevallen over:
- Als #c=0#, dan is elk paar #\rv{x,y}# een oplossing.
- Als #c\ne0#, dan is er geen enkele oplossing.
\[ 7\cdot x+5\cdot y=1 \]
We gaan te werk als bij het oplossen van een lineaire vergelijking met onbekende #y#. We zien #x# dus als parameter.
\[\begin{array}{rclcl} 7\cdot x+5\cdot y&=&1&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
5\cdot y &=& 1- 7 x&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{termen zonder }y\text{ naar rechts}}\\
y &=& {{1-7\cdot x}\over{5}}&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{na deling door de coëfficiënt }5\text{ van }y}
\end{array}\]Het resultaat is dus #y= {{1-7\cdot x}\over{5}}= -{{7}\over{5}}x + {{1}\over{5}} #.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
