Stel dat we vijf mensen op een rij willen zetten. Voor de eerste plek kunnen we uit vijf personen kiezen. Voor de de tweede plek zijn nog vier gegadigden: één persoon is immers al op de eerste plek gezet. In totaal zijn er \(5\times 4\times 3\times 2\times 1=5!=120\) mogelijkheden.

Als we de personen nummeren van #1# tot en met #5#, dan bestaat elke ordening uit een rijtje cijfers zoals bijvoorbeeld #12345#, #54321#, en #21354#.

Voorbeelden:

Herhalingsvariaties: een pincode bestaat uit vier cijfers. Voor elk van de vier cijfers zijn er tien mogelijkheden (de cijfers 0 t/m 9). Het aantal verschillende pincodes is dus gelijk aan \(10\times 10\times 10\times 10=10^4\). Je kan dit telprobleem ook als volgt herformuleren: Je hebt een doos met tien ballen genummerd 0 t/m 9 kriskras door elkaar gemengd. Je trekt blindelings een bal uit de doos, noteert het nummer van deze bal op papier, legt de bal terug in de doos, en mengt de ballen weer door elkaar. Hierna pak je opnieuw blindelings een bal uit de doos, schrijf je het cijfer van deze bal achter het vorige getrokken cijfer, leg je de bal terug in de doos, en meng je de ballen weer door elkaar. Dit trekkingsproces herhaal je nog tweemaal zodat je uiteindelijk vier cijfers op papier hebt staan. Het aantal mogelijke cijfercombinaties is dan gelijk aan het aantal herhalingsvariaties van vier uit tien is \(10^4.\)

Variaties: Stel een VvE wil uit de 25 leden een bestuur kiezen bestaande uit een voorzitter, secretaris en penningmeester en staat geen dubbelfuncties toe. Neem aan dat iedereen voor elke functie beschikbaar is. Het bestuur kan dan op \(25\times 24\times 23=13800\) manieren samengesteld worden. Als we aannemen dat de keuze voor de functies in opgegeven volgorde plaatsvindt, dan zijn er 25 gegadigden voor de voorzittersrol, blijven er hierna 24 personen voor de functie van secretaris over en kunnen tenslotte nog 23 personen tot penningmeester gekozen worden. De keuze van het VvE bestuur kan behalve door stemming tijdens een algemene ledenvergadering ook gedaan worden door loting. Nummer de leden van 1 t/m 25 en leg in een doos vijfentwintig ballen genummerd 1 t/m 25 kriskras door elkaar. Je trekt blindelings een bal uit de doos en de persoon met het nummer gelijk aan het cijfer op de getrokken bal wordt voorzitter. Hierna trek je weer blindelings een bal uit de doos. Dit keer wordt de persoon met het nummer gelijk aan het cijfer op de getrokken bal de secretaris. Tenslotte trek je voor de derde keer een bal en het cijfer van de bal geeft aan wie penningmeester wordt. Het is nu een telprobleem van trekking zonder teruglegging en met volgorde.

Combinaties: Keren we terug naar het voorbeeld van de keuze van een drietallig bestuur van een VvE met vijfentwintig leden. Stel dat de rolverdeling van de bestuursleden er niet toe doet en je alleen een bestuur van 3 personen uit 25 leden moet kiezen. Dan is het een telprobleem van trekking zonder teruglegging en zonder volgorde. In dit concrete geval moet je het aantal variaties delen door het aantal mogelijke rolverdelingen binnen het bestuur. Het aantal bestuurscombinaties is dus gelijk aan \[\frac{25\times 24\times 23}{3!}=\frac{25!}{22!\times 3!}=\!\binom{25}{3}=2300\]

Herhalingscombinaties: Stel je kunt in een ijssalon een ijscoupe bestellen met drie bolletjes ijs naar eigen smaakkeuze. Als de ijssalon tien smaken ijs aanbiedt, dan is het aantal soorten ijscoupes gelijk aan \(\binom{12}{3}\). Dit is als volgt in te zien: schrijf voor elke smaak net zoveel verticale turfstreepjes op als het aantal gekozen bolletjes met deze smaak en schrijf tussen de turfstreepjes horende bij de verschillende smaken een horizontale koppelstreepje als scheidingsteken. Er zijn dan \(3\) verticale turfstreepjes en \(10-1=9\) horizontale koppelstreepjes in een beschrijving van een gekozen ijscoupe.

• De code ||-|-------- kan bijvoorbeeld slaan op 2 bolletjes vanille en 1 bolletje chocolade, terwijl
• de code |-||--------- dan 1 bolletje vanille en 2 bolletjes chocolade aanduidt.
• De code |-|-|------- zou dan een coupe met een bolletje vanille, chocolade en pistache kunnen aanduiden.

Het aantal soorten ijscoupes is dan gelijk aan het aantal manieren om \(3\) verticale turfstreepjes op \(12\) mogelijke locaties te plaatsen. Dit is het aantal combinaties van \(3\) uit \(12\) bij een trekking zonder teruglegging en zonder volgorde.