Algebra: Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten
Binomium van Newton en sigma-notatie
Met behulp van binomiaalcoëfficiënten kunnen we de volgende formule voor de #n#-de macht van een tweeterm opschrijven:
Binomium van Newton \[(a+b)^n = \binom{n}{0}\!a^n+\binom{n}{1}\!a^{n-1}b+\cdots + \binom{n}{n-1}\!ab^{n-1}+\binom{n}{n}\!b^n\]
De termen hebben de vorm \(\binom{n}{k}\!a^{n-k}b^k\), waarbij \(k\) de waarden \(0,1,2,\ldots,n\) aanneemt.
Bij de driehoek van Pascal constateerden we dat de binomiaalcoëfficiënt \(\binom{n}{k}\) het #(k+1)#ste getal op #(n+1)#ste rij van die driehoek is. Dat getal kwam tot stand als de coëfficiënt van #a^kb^{n-k}# na het uitwerken van de haakjes van #(a+b)^n#. De coëfficiënt van #a^kb^{n-k}# is dus \(\binom{n}{k}\).
Sigma-notatie
In het binomium van Newton worden alle termen opgeteld die de vorm \(\binom{n}{k}\!a^{n-k}b^k\) hebben, waarbij \(k\) loopt van \(0\) tot en met \(n\). Om deze som compacter op te schrijven gebruiken we de sigma-notatie: het van de Griekse hoofdletter #\Sigma# afgeleide symbool \(\phantom{B}\sum\phantom{B}\), dat uitgesproken wordt als "sigma", met \(k\) als sommatie-index. Het binomium van Newton is in deze notatie: \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\!a^{n-k}b^k\]
We geven de betekenis van \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\!a^{n-k}b^k\]nog iets nauwkeuriger aan. De eerste waarde #0# van #k# wordt onderaan aangegeven en de laatste waarde #n# van #k# staat bovenaan aangegeven. In plaats van gewoon #n# had daar ook #k=n# kunnen staan. De summanden krijg je door de alle tussenliggende gehele waarden van #k# in te vullen in de uitdrukking #\binom{n}{k}\!a^{n-k}b^k# achter het symbool #\sum#.
Met de sigma-notatie zijn ook oneindige sommaties te specificeren: \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}\]In het hoofdstuk Rijen en reeksen, gaan we hier nader op in.
De sigma-notatie voor een som wordt in de wiskunde en statistiek vaak gebruikt.
Substitueer \(a=b=1\) in het binomium van Newton: \[2^n=(1+1)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\!1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
