Algebra: Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten
De driehoek van Pascal
Binomiaalcoëfficiënten
De volgende somformules bij machten hebben we al gezien. \[\begin{array}{rcc} (a+b)^2 & = & a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3 & = & a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4 & = & a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{array}\]We hebben hierbij de termen systematisch gerangschikt naar dalende machten van \(a\): elke opvolgende macht van \(a\) heeft een exponent die met #1# vermindert. De gehele getallen voor de termen in de uitwerking van \((a+b)^n\) met \(n=0,1,2,3,4,\ldots\) kun je ook zo rangschikken. Ze heten binomiaalcoëfficiënten.
Voor \(n=2\) zijn de binomiaalcoëfficiënten #1#, #2#, en #1#.
Voor \(n=3\) zijn ze #1#, #3#, #3# en #1#.
Voor \(n=4\) zijn ze #1#, #4#, #6#, #4# en #1#.
Twee opvallende verschijnselen:
- De rijen beginnen en eindigen met #1#. Dit wordt verklaard doordat de rij begint met de coëfficiënt van \(a^n\) die #1# is en eindigt met de coëfficiënt van \(b^n\), die ook #1# is.
- Als je de rij omkeert, krijg je dezelfde rij. Dit wordt verklaard doordat #a# en #b# een symmetrische rol spelen: #(b+a)^n=(a+b)^n#.
Driehoek van Pascal
Je kunt de binomiaalcoëfficiënten bij verschillende waarden van \(n\) in de zogenaamde driehoek van Pascal plaatsen: \[\begin{array}{ccc}
n = 0: & & \phantom{0}1 \\
n = 1: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}1 \\
n = 2: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}2 \quad \phantom{0}1 \\
n = 3: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}3 \quad \phantom{0}3 \quad \phantom{0}1 \\
n = 4: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}4 \quad \phantom{0}6 \quad \phantom{0}4\quad \phantom{0}1 \\
n = 5: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}5 \quad 10 \quad 10 \quad \phantom{0}5 \quad \phantom{0}1 \\
n = 6: & & \phantom{0}1 \quad \phantom{0}6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad \phantom{0}6 \quad \phantom{0}1 \\
\cdots & & \cdots
\end{array}\]
De rij met #n=6# betekent bijvoorbeeld dat \[(a+b)^6=a^6+6a^5b+ 15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\tiny.\]
De driehoek van Pascal is geconstrueerd volgens de volgende regel:
Constructieregel voor de driehoek van Pascal Langs de linker- en de rechterrand staan enen en verder is elk getal de som van zijn linker- en rechterbovenbuur.
We behandelen de afleiding van de uitspraak voor #n=6#.\[\begin{array}{rcl}(a+b)^6&=&(a+b)^5\cdot(a+b)\\ &=& \left(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\right)\cdot(a+b)\\ &=& a^6+5a^5b+10a^4b^2+10a^3b^3+\phantom{1}5a^2b^4+\phantom{5}ab^5\\ && \phantom{a^6}+\phantom{5}a^5b+\phantom{1}5a^4b^2+10a^3b^3+10a^2b^4+5ab^5+b^6\\&&\phantom{myspace} \color{blue}{\text{gelijksoortige termen onder elkaar geplaatst}}\\ &=&a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\end{array}\]De coëfficiënt van #a^2b^4# komt dus tot stand door de coëfficiënt van #ab^4# uit #(a+b)^5# (die aan #a^2b^4# bijdraagt na vermenigvuldiging van #ab^4# met #a#) op te tellen bij de coëfficiënt van #a^2b^3# uit #(a+b)^5# (die aan #a^2b^4# bijdraagt na vermenigvuldiging van #a^2b^3# met #b#): #15 = 5+10#.
In het algemeen komt de coëfficiënt van #a^kb^{n-k}# in #(a+b)^{n}# tot stand door de coëfficiënten van #a^{k-1}b^{n-k}# en #a^{k}b^{n-k-1}# in #(a+b)^{n-1}# bij elkaar op te tellen. De reden is dat de term met #a^kb^{n-k}# van #(a+b)^{n}# ontstaat uit de volgende twee termen van #(a+b)^{n-1}#:
- de term met #a^{k-1}b^{n-k}#, door vermenigvuldiging met #a# (afkomstig van de factor #(a+b)#) en
- de term met #a^{k}b^{n-k-1}#, door vermenigvuldiging met #b# (afkomstig van de factor #(a+b)#) .
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
