Algebra: Rationale uitdrukkingen
Splitsen en onder één noemer brengen
Bij rekenen met getallen zijn we al rekenregels voor breuken tegengekomen. Deze blijven gelden als in breuken variabelen voorkomen want het worden gewone breuken zodra je getallen voor de variabelen invult. We hebben in de theorie Breuken vereenvoudigen gezien dat in de vereenvoudigde breuk niet altijd meer duidelijk is waar de noemer gelijk aan nul was.
Optellen en aftrekken van breuken
Optellen en aftrekken van breuken met variabelen gaat net als bij gewone breuken:
- Als twee of meer breuken in een som of verschil dezelfde noemer hebben, dan is de noemer van het eindresultaat hetzelfde en is de teller de som respectievelijk het verschil van de oorspronkelijke tellers.
- Als de breuken verschillende noemers hebben, moet ze eerst onder één noemer gebracht worden. Dit is te bereiken door als noemer het product van beide noemers te nemen en als teller van elke breuk het product van de teller met de oude noemer van de andere breuk.
De bijbehorende formules voor het geval van breuken #\frac{a}{b}# en #\frac{c}{d}#, waarbij #a#, #b#, #c# en #d# veeltermen zijn, verschillen niet van de formules voor rationale getallen in Optellen en aftrekken van breuken:
\[\begin{array}{lrcl}\text{gelijknamige breuken }a=d:\ \ &\frac{a}{b}+\frac{c}{b} &=& \frac{a+b}{b}\\ \text{het algemene geval: }&\frac{a}{b}+\frac{c}{d} &=& \frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d} \end{array}\]
Ook hier is het niet nodig om het product van de twee noemers te nemen als je een kleiner gemeenschappelijk veelvoud van beide noemers kunt vinden. In die zin is het geval van gelijke noemers een voorbeeld: daar is de oorspronkelijke noemer al het gemeenschappelijke veelvoud.
De twee breuken zijn reële getallen voor alle #b\ne0# en #d\ne0#, en dat geldt ook voor de som van de twee. Maar na vereenvoudiging kan er weer een voorwaarde voor de oorspronkelijke noemer verdwijnen.
Toelichting:\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{1}{a-7}+\frac{a}{a+7}&=&\displaystyle\frac{a+7}{(a-7)\cdot(a+7)}+\frac{(a-7)a}{(a-7)\cdot(a+7)}\\&&\phantom{ssppaacce}\color{blue}{\text{noemers gelijknamig gemaakt}}\\&=&\displaystyle\frac{a+7+(a-7)a}{(a-7)\cdot(a+7)}\\&&\phantom{ssppaacce}\color{blue}{\text{breuken met gelijke noemers opgeteld}}\\&=&\displaystyle\frac{a+7 + a^2-7a}{a^2-7^2}\\&&\phantom{ssppaacce}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&\displaystyle\frac{a^2-6\cdot a+7}{a^2-49}\\&&\phantom{ssppaacce}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
Het omgekeerde proces kan lastig zijn.
Breuksplitsing
Het uitschrijven van een breuk als een som van breuken met noemers die de oorspronkelijke noemer delen heet breuksplitsing.
Hoe zou je bijvoorbeeld achterhalen dat #\frac{1}{x(x+1)}# het verschil van #\frac{1}{x}# en #\frac{1}{x+1}# is? Breuksplitsen is makkelijk als we ons beperken tot het geval van gelijknamige noemers.
Voor het algemene geval met één variabele zijn goede methoden beschikbaar. Die bespreken we hier niet.
Immers, #{{a^2+1}\over{a}}=\frac{a^2}{a}+\frac{1}{a} = a+{{1}\over{a}}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
