Algebra: Merkwaardige producten
Het verschil van twee kwadraten
Vaak wordt onderstaande formule gebruikt voor een herschrijving van rechts naar links om een uitdrukking in twee factoren te ontbinden.
Merkwaardig product \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]
De afleiding van de somformule is als volgt: \[\begin{array}{rclcl}(a-b)(a+b)&=&a^2-ba+ab-b^2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{bananenformule}}\\ &=&a^2-ab+ab-b^2 &&\color{blue}{ba=ab}\\ &=&a^2-b^2&&\color{blue}{\text{termen samengenomen}}\end{array}\]
De formule wordt gebruikt om de noemer van een breuk vrij van wortels te maken in het onderstaande geval.
Als #a#, #b#, #c#, #d# en #e# gehele getallen zijn met #a\gt0# en #d^2\ne e^2a#, dan geldt
\[\frac{b+c\sqrt{a}}{d+e\sqrt{a}}=\frac{(b\cdot d-a\cdot c\cdot e) +(c\cdot d-b\cdot e)\sqrt{a}}{d^2-e^2a}\tiny.\]
Immers,\[\begin{array}{rcl}\frac{b+c\sqrt{a}}{d+e\sqrt{a}}&=&\frac{\left(b+c\sqrt{a}\right)\cdot\left(d-e\sqrt{a}\right)}{\left(d+e\sqrt{a}\right)\cdot\left(d-e\sqrt{a}\right)}\\&&\phantom{space}\color{blue}{\text{teller en noemer vermenigvuldigd met }d-e\sqrt{a}}\\&=&\frac{(b\cdot d-a\cdot c\cdot e) +(c\cdot d-b\cdot e)\sqrt{a}}{d^2-e^2a}\\&&\phantom{space}\color{blue}{\text{haakjes uitgewerkt met merkwaardig product}}\end{array}\]
Het is niet nodig de formule te onthouden. Het is beter de methode te onthouden: als de noemer #d+e\sqrt{a}# is, dan kan de wortel weggewerkt worden dankzij het merkwaardig product door met #d-e\sqrt{a}# te vermenigvuldigen. Om de breuk hetzelfde getal te laten voorstellen, moet de teller ook met #d-e\sqrt{a}# vermenigvuldigd worden.
Uitwerking:\[\begin{array}{rclcl}{16}{y}^2-25&=&(4y)^2-5^2&&\color{blue}{\text{kwadraat herkennen}}\\&=&(4y+5)(4y-5)&&\color{blue}{\text{ontbonden in factoren}}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
