Algebra: Merkwaardige producten
De bananenformule
Tweetermen en drietermen
Onder een tweeterm verstaan we een som (of verschil) van twee termen (producten van constanten en variabelen). Net zo is een drieterm een som van drie termen, en een veelterm een som van een niet gespecificeerd (maar eindig) aantal termen.
De bananenformule Voor het product van twee tweetermen geldt de bananenformule:
Zoals de banaanvormige boogjes al aangeven, ontstaat het rechter lid in de bananenformule door twee maal een distributieve eigenschap te gebruiken: \[\begin{array}{rcl}(a+b)(c+d) &=& a(c+d) + b(c+d)\\ &=& ac +ad + bc + bd\end{array}\] Soms kan het handig zijn een vermenigvuldigingsschema te gebruiken: \[\begin{array}{c|c|c} \cdot & c & d\\ \hline a & ac & ad\\ \hline b & bc & bd \end{array}\] Na het invullen van het schema tel je de vier producten bij elkaar op.
Het product van twee drietermen
Het vermenigvuldigingsschema \[\begin{array}{c|c|c|c} \cdot & d & e & f\\ \hline a & ad & ae & af\\ \hline b & bd & be & bf \\ \hline{c} & cd & ce & cf \end{array}\] laat zien dat het product van twee drietermen \((a+b+c)(d+e+f)\) uitgewerkt kan worden door elke term binnen het linker paar haakjes met elke term binnen het rechter paar haakjes te vermenigvuldigen en vervolgens alle uitkomsten bij elkaar op te tellen: \[\begin{array}{rcccl}(a+b+c)(d+e+f)& = &\phantom{+} ad &+ ae &+ af \\ &&+ bd &+ be &+ bf \\ &&+ cd &+ ce &+ cf\end{array}\]
Met de bananenformule kun je dubbele haakjes uitwerken. De formule kan ook in allerlei gecompliceerdere situaties gebruikt worden.
Het kwadraat van een tweeterm kun je zien als het product van twee identieke tweetermen:
\[\begin{array}{rclcl}\left(r+s\right)^2&=&\left(r+s\right)\left(r+s\right) &\phantom{x}&\color{blue}{\text{van kwadraat naar product}}\\&=& r^2+{r}{s}+{s}{r}+s^2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{haakjes uitgewerkt}}\\&=& r^2+2r s+s^2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{termen bijeengenomen}}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
