Algebra: Rekenen met variabelen
Rekenen met machten
De rekenregels voor machten met getallen gelden ook voor machten met variabelen:
Rekenregels voor machten Laat \(a\) en \(b\) variabelen zijn en \(r\) en \(s\) rationale getallen. Dan gelden de volgende regels.
\[\begin{array}{rcl}a^r\cdot a^s &=& a^{r+s}\\ \frac{a^r}{a^s}&=& a^{r-s}\\ (a^r)^s&=&a^{r\cdot s}\\ (a\cdot b)^r &=& a^r\cdot b^r\\ \frac{a^r}{b^r}&=& \left(\frac{a}{b}\right)^r\end{array}\].
Bovenstaande rekenregels zijn in 'kale' vorm geformuleerd: voor de variabelen \(a\) en \(b\) mogen allerlei algebraïsche uitdrukkingen ingevuld worden.
Als we bijvoorbeeld #a# door #1+a^2# vervangen in de tweede gelijkheid, dan vinden we \[\frac{(1+a^2)^r}{(1+a^2)^s}= (1+a^2)^{r-s}\tiny.\]
Niet gedefinieerde uitdrukkingen
Voor elke variabele kan in principe elk reëel getal ingevuld worden. Hier zijn enkele uitzonderingen:
- Door #0# kan niet gedeeld worden, dus als bijvoorbeeld #a=0# gekozen wordt in #\frac{1}{a}#, dan hebben we een probleem.
- De wortel uit een negatief getal kan niet getrokken worden (zie de discussie in Wortels van gehele getallen), dus als we #a=-1# en #r=\frac{1}{2}# invullen in #a^r#, dan hebben we een probleem.
We zeggen dan deze uitdrukkingen niet gedefinieerd zijn voor de gekozen waarden van de variabelen.
Bedenk dat \(r=r^1\) en pas de regel \(r^r\cdot r^s=r^{r+s}\), voor rationale getallen \(r\) en \(s\), toe. Dit levert op:\[r^5\cdot r^{2}= r^{5+2}= r^{7}\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
