De absolute waarde van #x# is altijd groter dan of gelijk aan nul: #|x|\ge 0#.

Bijvoorbeeld de afstand van zowel #4# als van #-4# tot nul is #4#. Immers: #|4| = 4# en #|- 4| =-(-4)= 4#.

De gelijkheid #|x|=\sqrt{x^2}# volgt uit een onderscheid in twee gevallen:

• Als #x\ge0#, dan geldt #|x|=x=\sqrt{x^2}#.
• Als #x\lt0#, dan volgt uit het vorige geval en de gelijkheid #(-x)^2=x^2# dat #|x|=-x=\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}#.

Deze twee interpretaties hebben met elkaar te maken: in het platte vlak, waar we met twee coördinaten #\rv{x,y}# rekenen, is de afstand tot de oorsprong #\rv{0,0}# gegeven door #\sqrt{x^2+y^2}#. Onze getallenlijn komt hierin terug als het speciale geval waarin #y=0#. De afstand tot de oorsprong krijgen we dan door #y=0# in te vullen in deze formule: #\sqrt{x^2}=|x|#.

Omdat afstand niet van de keuze van de oorsprong op de getallenlijn afhangt, is de onderlinge afstand tussen twee getallen #a# en #b# op de getallenlijn is hetzelfde als de onderlinge afstand na verschuiving van elk van de twee getallen over elk willekeurig getal. Voor dat willekeurige getal nemen we #-b#. In dat geval komt #a# terecht op #a-b# en #b# op #b-b=0#. Omdat de afstand van #a-b# tot #0# vanwege het bovenstaande #|a-b|# is, volgt dat ook de afstand van #a# tot #b# gelijk aan #|a-b|# is.