Bewijs: Stel #\frac{a}{b}# is een rationaal getal, waarbij #a# en #b# gehele getallen zijn en #b\gt0#. Als we de staartdeling van #b# op de decimale ontwikkeling #a.000\cdots# uitvoeren, dan wordt bij elke stap na de decimale punt van #a.000\cdots# een nieuwe decimaal toegevoegd. In de staartdeling voegen we steeds een #0# toe alvorens we weer gaan delen om de volgende decimaal van het quotiënt te bepalen. Bij elke stap ontstaat een rest: een getal kleiner dan #b#. Er zijn niet meer dan #b+1# mogelijkheden voor die rest. Dat betekent dat na hoogstens #b+1# stappen de rest gelijk is aan wat het eerder was. Daarna treedt herhaling op: we doorlopen dezelfde bewerkingen om de volgende decimaal te bepalen, en krijgen dus ook hetzelfde resultaat. De decimale ontwikkeling heeft dus een repeterende staart.

Andersom, stel #a# is een reëel getal met een #w#-repeterende staart voor een bepaalde reeks #w# bestaande uit #n# cijfers. We moeten laten zien dat #a# een rationaal getal is. Als #a\le0#, dan vervangen we #a# door #-a#. We kunnen dit doen zonder verlies van algemeenheid, want #a# is rationaal dan en slechts dan als #-a# rationaal is. Als de #w#-repeterende staart van #a# bij de #l#-de decimaal begint, dan heeft die ontwikkeling de vorm #m.a_1a_2\cdots a_{l-1} www\cdots#, voor een geheel getal #m# en cijfers #a_1,a_2,\ldots,a_{l-1}#. Dit betekent dat\[a=r+10^{-l}(w+\frac{w}{10^n}+\frac{w}{10^{2n}}+\cdots)\]waarbij #r=m+\frac{a_1a_2\cdots a_{l-1}}{10^{l-1}}# een rationaal getal is.

Het is dus voldoende te bewijzen dat de bijdrage van de staart #10^{-l}\left(w+\frac{w}{10^n}+\frac{w}{10^2}+\cdots\right)# rationaal is. We kunnen dit getal schrijven als #\frac{w}{10^l}\left(1+10^{-n}+{10^{-2n}}+\cdots\right)#. Dankzij de theorie van Meetkundige reeksen weten we dat #1+10^{-n}+{10^{-2n}}+\cdots = \frac{1}{1-10^{-n}}= \frac{10^n}{10^n-1}#. Dit is een rationaal getal. Hiermee hebben we bewezen dat #a=m+\frac{w\cdot 10^{n-l}}{10^n-1}# rationaal is.