Benaderingen van reële getallen

Getallen: Reële getallen

Benaderingen van reële getallen

Omdat het onmogelijk is om oneindige rijen volledig op te schrijven, stellen we ons bijna altijd tevreden met benaderingen van reële getallen door decimale getallen, dat wil zeggen: door een kop van de decimale ontwikkeling. De precisie wordt uitgedrukt in het aantal decimalen.

De benadering van #\pi# tot op vijf decimalen is #3.14159#.

Het getal #\pi# kan (in principe) tot op elke gewenste precisie bepaald worden, met behulp van beginstukken van de decimale ontwikkeling.\[\begin{array}{rcl} 3. &=& 3\\ 3.1 &=& 3+\frac{1}{10}\\ 3.14 &=& 3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}=\frac{314}{100}\\ 3.141 &=& 3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}=\frac{3141}{1000}\\ 3.1415 &=& 3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}=\frac{31415}{10000}\\ 3.14159 &=& 3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\frac{9}{10000}=\frac{314159}{100000}\\&{\cdots}& \end{array}\]

Let op het verschil tussen decimale benadering en decimale ontwikkeling: #3.1415# komt voor in de decimale ontwikkeling van #\pi#, maar de beste decimale benadering van #\pi# tot op vier decimalen is #3.1416#.

Voorbeelden van decimale ontwikkelingen die eenvoudig beschreven kunnen worden, zijn degene die een repeterende staart hebben, zoals #3.111\cdots# of #2.913913913913913\cdots#. We zullen later zien dat al deze uitzonderingen rationale getallen zijn.

Hier is een methode om een kop van de decimale ontwikkeling te berekenen aan de hand van vergelijkingen van het getal met decimale getallen.

De entier

Als #x# een reëel getal is, dan geven we met #\lfloor x\rfloor# het grootste gehele getal aan dat kleiner dan of gelijk is aan #x#. Dit getal heet de entier van #x#.

Het woord "entier" is Frans en betekent geheel. Spreek het uit als "anti é".

Voorbeelden:

Als #x# een geheel getal is, dan geldt #\lfloor x\rfloor#. De gehele getallen zijn de enige met deze eigenschap.
Als #x=\frac{a}{b}# een rationaal getal is, met #a#, #b# gehele getallen en #b# ongelijk aan #0#, dan is #\lfloor x\rfloor = \lfloor a/b\rfloor#, het quotiënt van #a# bij deling met rest door #b#.
#\lfloor \pi\rfloor=3# en #\lfloor \e\rfloor=2#.
#\lfloor \sqrt{5}\rfloor=2# en #\lfloor \sqrt{11}\rfloor=3#.

Bepaling van de decimale ontwikkeling

Laat #r# een niet-negatief reëel getal zijn en #n# een natuurlijk getal. De kop van de decimale ontwikkeling van #r# met #n# decimalen is gelijk aan\[\frac{\lfloor{r}\cdot10^n\rfloor}{10^n}\tiny.\]

Als #r\lt0#, dan is de kop van de decimale ontwikkeling van #r# met #n# decimalen is gelijk aan #-\frac{\lfloor{-r}\cdot10^n\rfloor}{10^n}#.

Om in te zien waarom de formule #h=\frac{\lfloor{r}\cdot10^n\rfloor}{10^n}# voor de kop #h# van de decimale ontwikkeling van #r# met #n# decimalen correct is voor #r\ge0#, leiden we af:\[\begin{array}{rcccccl}0&\le&10^n\cdot r - \lfloor10^n\cdot r\rfloor&\lt&1&\phantom{h}&\color{blue}{\text{definitie entier}}\\0&\le& r - \frac{\lfloor10^n\cdot r\rfloor}{10^n}&\lt&\frac{1}{10^n}&\phantom{h}&\color{blue}{\text{rekenregel 5 ongelijkheden}}\\ 0&\le& r - h&\lt&\frac{1}{10^n}&\phantom{h}&\color{blue}{\text{definitie }h}\\ h&\le& r &\lt&h+\frac{1}{10^n}&\phantom{h}&\color{blue}{\text{rekenregel 3 ongelijkheden }}\\\end{array}\]Dankzij de laatste regel en het feit dat #h# een decimaal getal is, kunnen we de Inklemming van een reëel getal tussen decimale getallen gebruiken, om te concluderen dat #h# een kop van de decimale ontwikkeling van #r# is.

Om reële getallen te kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in termen van de decimale ontwikkeling, is het nodig dit te kunnen voor de koppen van de decimale ontwikkelingen van die getallen. Omdat de koppen rationale getallen zijn, kunnen we de genoemde operaties daarop uitvoeren. Dat laat de vraag open hoe goed de benadering is. Dit is in zijn algemeenheid op te lossen, maar daar gaan we niet op in. We laten hier wel zien hoe zo'n benadering in een aantal praktische gevallen gekozen kan worden. Daarbij worden boven- en ondergrenzen van het gezochte reële getal gegeven die rationaal zijn en voldoend dicht bij elkaar liggen om de gewenste benadering van het reële getal te geven.

Het getal van Euler, dat geschreven wordt als #\e#, is een reëel getal dat niet rationaal is. Het heeft geen repeterende staart. De decimale ontwikkeling begint als volgt: \[\e = 2.718281828459\cdots\]Benader #{ \e}^2# met een decimaal getal tot op 3 cijfers achter de decimale punt.

#7.389#

Dit is in te zien door te rekenen met de benadering #2.718282 = \frac{2718282}{1000000}# van #\e#:
\[{ \e}^2\approx { \frac{2718282}{1000000} }^2 = \frac{7389057031524}{1000000000000} \approx 7.389\tiny.\]De staart van de decimale ontwikkeling die we hier weglaten, heeft geen invloed op de drie cijfers achter de decimale punt. Dit kunnen we laten zien met behulp van ongelijkheden: uit #2.718281 \le \e \le 2.718282# volgt \[{ 7.389051594961 } \le { \e}^2 \le { 7.389057031524 }\tiny.\]Hierdoor is duidelijk dat de berekende decimale benadering van #{ \e}^2# tot op drie cijfers achter de decimale punt correct is.

Nieuw voorbeeld