In dit hoofdstuk hebben we kennis gemaakt met natuurlijke, gehele, rationale, en reële getallen.

We zijn begonnen met een idee te geven van de opbouw van achtereenvolgens

• natuurlijke getallen via het tellen van objecten
• gehele getallen via het aftrekken van een natuurlijk getal van een ander natuurlijk getal
• rationale getallen via het delen van een geheel getal door een geheel getal dat ongelijk aan #0# is
• reële getallen via de getallenlijn, waarop getallen liggen die systematisch benaderd kunnen door speciale rationale getallen: decimale getallen

Als een reëel getal niet rationaal is, dan is het moeilijk precies aan te geven hoe groot het is. Een precieze omschrijving van \(\pi\) is bijvoorbeeld "de halve omtrek van een cirkel met straal #1#". Maar als we ermee willen werken, gebruiken we vaak een benadering als #3.142#. In formule geven we dit aan met \(\pi \approx 3.142\). Dit laatste getal is het decimale getal #\frac{3142}{1000}#, waarbij we er ons niet druk om maken dat dit te vereenvoudigen is. De benadering die we kiezen is namelijk een getal dat bestaat uit een aantal cijfers vóór en een aantal cijfers achter de punt (we houden ons aan de Engelse gewoonte om punten te schrijven in plaats van komma's).

Elk reëel getal is in principe zo nauwkeurig te beschrijven als je maar wilt. Maar de hoeveelheid werk neemt wel toe naarmate je een grotere nauwkeurigheid wilt bereiken. Hierbij meten we de nauwkeurigheid met het aantal cijfers (decimalen) achter de punt. Het precies bepalen van het getal door deze zogenaamde decimale ontwikkeling is voor de meeste getallen alleen in theorie mogelijk: je zou er oneindig veel cijfers voor moeten opschrijven.

Om decimale getallen beter te begrijpen, is het nodig meer te weten over Rijen en reeksen. In het bijzonder zijn rationale getallen te herkennen door de repeterende staart met behulp van meetkundige reeksen. Maar ook getallen als #\pi# zijn beter te begrijpen door de benaderingen te zien als termen van een reeks.

De reële getallen zijn uit te breiden tot complexe getallen. Elk reëel getal is een complex getal, maar er is ook een complex getal #i# dat voldoet aan #i^2 = -1#. Dat getal is niet op de getallenlijn te vinden, dus niet reëel. Elk complex getal is te schrijven als #a+bi#, waarbij #a# en #b# reële getallen zijn. Een inleiding in deze wondere wereld wordt later gegeven. Als je hierin geïnteresseerd bent, is het goed om eerst het hoofdstuk 2-Dimensionale Meetkunde: punten en lijnen door te nemen.

Naast de invoering van getallen hebben we ons beziggehouden met bewerkingen op getallen. Vanzelfsprekend zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen aan de orde geweest. Maar ook is veel aandacht besteed aan worteltrekken. Om twee wortels van breuken te kunnen vergelijken is geleerd hoe de noemers vrij van breuken te schrijven zijn. Daarvoor is een standaardvorm besproken. Voor een uitdrukking als #\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}# hebben we aangegeven dat de standaardvorm #\frac{1}{3}\sqrt{6}# is. Maar een standaarvorm voor #\frac{1}{2+\sqrt{3}}# is niet besproken, laat staan voor een uitdrukking als #\frac{1}{2+\sqrt[3]{5}}#. In het hoofdstuk Algebra zullen we laten zien hoe de wortel uit de noemers van beide uitdrukkingen te verwijderen zijn. Niettemin is het vinden van een standaardvorm voor uitdrukkingen waarin meerdere wortels voorkomen verre van eenvoudig. Bij wijze van voorbeeld is aan de orde gekomen dat\[\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\] gelijk is aan #1#. In hoofdstuk Veeltermen en rationale functies wordt een bewijs hiervan gegeven.

Deze moeilijkheid is een reden temeer om reële getallen te benaderen met een decimale ontwikkeling. We hebben laten zien hoe hiermee vast te stellen is of een getal groter dan een ander is. Een lacune van de decimale ontwikkeling is dat, in het geval een kop met veel decimalen van deze ontwikkeling gelijk is voor twee gegeven getallen, niet zonder meer is vast te stellen of de twee exact gelijk zijn.

Als volgende hoofdstuk bevelen we Algebra aan, waarin de nadruk ligt op het rekenen met variabelen.